Топология и калибровочные теории

[Mikhail_K]

Читаю в одной из книг.

Цитата:

Прототипом всех калибровочных теорий является теория электромагнитного поля. С геометрической точки зрения электромагнитный потенциал $a_\mu$ ($\mu=1,\dots,4$) определяет связность в расслоении со слоем $U(1)$ над пространством Минковского $M$. Поле электромагнитных сил является кривизной этой связности и задаётся формулами

$$ f_{\mu\nu}=\partial_\mu a_\nu - \partial_\nu a_\mu \quad (\partial\mu=\partial/\partial x_\mu). $$

Всё это звучит для меня как абракадабра. Я не знаю, что такое связность, что такое $U(1)$ и т.д. А дальше там упоминаются также группы Ли, алгебры Ли, оператор внешнего дифференцирования и т.д. Всё это я также не знаю.
Вопрос: что конкретно надо изучить и по каким конкретно учебникам это лучше всего делать, чтобы вот такое понимать?
Чтобы понимать приложения топологии в теории поля, в частности, теории слабых и сильных взаимодействий. Причём мне были бы интересны приложения именно топологии, а не просто диф.геометрии.
Знаю математику в объёме университетского курса для математиков. Тем не менее, знания в области дифференциальной геометрии и теоретической физики весьма малы.

Какие книги, лучше всего более простые и предназначенные для первоначального ознакомления, мне нужно изучить, чтобы хотя бы на каком-то минимальном уровне понимать теорию калибровочных полей?
Мне нужно именно минимальное понимание.

[Name XXX]

Для минимального понимания теории калибровочных полей вовсе не нужно заладить в дифференциальную геометрию. Достаточно знаний по теории групп и алгебр Ли (представщение группы и алгебры, присоединенное представление, чем группа от алгебры отличается и т.д.), в частности, изучить унитарные группы $U(n)$. Можно почитать, например, книгу Рубакова "Классические калибровочные поля".
Если осилите до конца, то там же и найдете ответ на вопрос о том, зачем изучать топологию для калибровочных полей. Вроде, там же написано и про геометрическую интерпретацию калибровочных теорий.

[Walker_XXI]

Mikhail_K в сообщении #1039439 писал(а):

Знаю математику в объёме университетского курса для математиков.

В таком случае Вам должны быть близки ЛЕКЦИИ ПО ГЕОМЕТРИИ М. М. ПОСТНИКОВА, Семестр IV. Дифференциальная геометрия. М.: Наука. 1988, а конкретно Лекция 22 (непонятные термины и понятия можно по ходу дела подсмотреть в других лекциях). Преимущества знаний абстрактной дифф.геометрии и топологии в том, что они позволяют взглянуть на всю математическую кухню теории поля, так сказать, с высоты птичьего полёта.

[lek]

Mikhail_K в сообщении #1039439 писал(а):

Вопрос: что конкретно надо изучить и по каким конкретно учебникам это лучше всего делать, чтобы вот такое понимать?
Чтобы понимать приложения топологии в теории поля, в частности, теории слабых и сильных взаимодействий. Причём мне были бы интересны приложения именно топологии, а не просто диф.геометрии.

Хорошее введение в предмет можно найти здесь. (PS: Постникова для первого чтения не рекомендую.)

[g______d]

Новиков, Тайманов, "Современные геометрические структуры и поля".

[Walker_XXI]

lek в сообщении #1039512 писал(а):

Хорошее введение в предмет можно найти здесь

Позвольте не согласиться. Шварц - хорошее введение в применение методов дифф.геометрии и топологии в теории поля для тех, кто с геометрией и топологией уже знаком, но не введение в дифф.геометрию и топологию. Не случайно первая половина книги рассчитана именно на таких читателей. Много полезного и интересного материала, но математическая строгость оставляет желать лучшего. В III главе (выглядит, как приложение к основной части книги) - попытка дать основы. Но "галопом по европам" и, опять же, без особой строгости. Причём введение не лучшее. Чего стоит чисто алгебраическое определение вектора, как "совокупности чисел... преобразующихся по формуле"! Определение верное, но совсем не геометрическое.

У Постникова в указанной лекции как раз идёт рассмотрение уравнений Максвелла в аспекте вопроса ТС. Причём всё увязано именно с чистой математикой и поднято до её уровня. А у Шварца, грубо говоря, математика приспущена до уровня, необходимого физикам.

[Walker_XXI]

Вот вспомнил про Сарданашвили. Его "Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля", Т. 1, М.:УРСС, 1996 - куда более подходящее введение в курс дела, чем Шварц. Изложение последовательно и математическая строгость на более высоком уровне.

[Munin]

Да вы что! Это только зубы ломать.

[lek]

У Постникова и Сарданашвилли за математическими конструкциями не видно физики, тогда как у Шварца и Рубакова она стоит на первом месте (хотя и в ущерб математической строгости). Мне более симпатичен второй подход, но, разумеется, это дело вкуса...

[Walker_XXI]

Munin в сообщении #1039778 писал(а):

Да вы что! Это только зубы ломать.

:) Не очень понятно, какие книги читает Mikhail_K, какие цели преследует и что интересует в первую очередь - физика, или математика (и на каком уровне). Постникова посоветовал именно из соображений "математики университетского уровня".

(Оффтоп)

Сам я изучал эти вопросы в рамках нескольких стандартных курсов, которые нам читали - отдельно была строгая математика, отдельно - физические приложения, потом самостоятельно "догонялся" спецлитературой.

-- 23.07.2015, 14:35 --

lek в сообщении #1039786 писал(а):

У Постникова и Сарданашвилли за математическими конструкциями не видно физики, тогда как у Шварца и Рубакова она стоит на первом место

Так я и говорю, не понятно, чего человеку не хватает. Может физика в полном объёме есть в той книжке, которую он в руках держит, а вот ясной и чистой математики недостаёт.

Когда вы прекрасно знаете топологию и дифф.геометрию, но не знаете, что со всем этим делать, - тогда Шварц вам в руки. А иначе в плане используемой у Шварца математики в голове будет винегрет.

[Mikhail_K]

Всем спасибо за советы, буду читать и разбираться.

Мне действительно не нужна идеальная математическая строгость в данных вопросах, мне надо представлять на качественном уровне, где и в чём применяется топология. В частности, в теории калибровочных полей.

[Walker_XXI]

Mikhail_K в сообщении #1039817 писал(а):

Всем спасибо за советы, буду читать и разбираться.

Мне действительно не нужна идеальная математическая строгость в данных вопросах, мне надо представлять на качественном уровне, где и в чём применяется топология. В частности, в теории калибровочных полей.

Судя по начальному вопросу темы Вам не хватает именно чётких определений математических понятий из геометрии и топологии, а книги по физическим приложениям зачастую этим пренебрегают или по минимуму дают какую-то частную точку зрения, мелкие технические детали, что не позволяет взглянуть на проблему в целом. А без этого не получится адекватного качественного анализа - нужно чётко представлять, с какими понятиями оперируют теории.

Кстати, вспомнил ещё одну брошюру: Болибрух А.А. "Уравнения Максвелла и дифференциальные формы" - введение в предмет буквально на 20 страницах.

[Munin]

А я вспомнил выпуск УФН, посвящённый этим вопросам:
УФН том 136 вып. 3, март 1982.
http://ufn.ru/ru/articles/1982/3/

Особенно статью
Ольшанецкий. Краткий путеводитель для физиков по современной геометрии. УФН 136 3 421-433.
http://ufn.ru/ru/articles/1982/3/b/

Даниэль, Виалле. Геометрический подход к калибровочным теориям типа Янга-Миллса. УФН 136 3 377–419.
http://ufn.ru/ru/articles/1982/3/a/
тоже может быть в тему.