Неравенство

[arqady]

Для действительных $a$, $b$ и $c$ таких, что $a^4+b^4+c^4=33$ докажите, что:

$$10(a+b+c)-3abc\leq42$$

[greg1982]

Примем $b=xa$ и $c=ya$

Найдем $a=\sqrt[4]{\frac{33}{1+x^4+y^4}}$

Теперь нужно доказать неравенство:

$10 \sqrt[4]{\frac{33}{1+x^4+y^4}} (1+x+y)-3 x y \left (\frac{33}{1+x^4+y^4} \right )^{\frac 34}\le 42 $

Эту поверхность исследуем методами дифференциального исчисления. В ней окажутся два максимума: в точках $(1,-0.5)$ и $(-0.5,1)$ функция принимает значение 42.

[arqady]

greg1982 в сообщении #1039017 писал(а):

Теперь нужно доказать неравенство:

$10 \sqrt[4]{\frac{33}{1+x^4+y^4}} (1+x+y)-3 x y \left (\frac{33}{1+x^4+y^4} \right )^{\frac 34}\le 42 $

Эту поверхность исследуем методами дифференциального исчисления.

Расскажите нам, пожалуйса, как Вы это делаете?

[greg1982]

Тут писать долго. Взял производные сначала по икс, затем по игрек, приравнял нулю и решил систему. Нашел те самые две точки экстремумов.
Если сделать рисунок, то он подтверждает сказанное: есть два глобальных максимума, доходящие до уровня 42:

[grizzly]

greg1982 в сообщении #1039069 писал(а):

Тут писать долго. Взял производные сначала по икс, затем по игрек, приравнял нулю и решил систему. Нашел те самые две точки экстремумов.

У Вас невероятная техника! Было бы здорово, если бы Вы согласились расписать хоть немного подробнее. Может быть, выложите фотки рукописных записей, если они ещё сохранились? (Не думаю, что всё это Вы проделали в уме.) Хотя бы какие-то интересные трюки посмотреть.

Я нашёл производные в Вольфраме. Попытался решать систему. Так даже зная ответ, не так-то просто подставить его в формулы и убедиться на бумаге, что эти точки действительно решают систему.

[Null]

Вы не рассмотрели случай $a\le0$

[Deggial]

grizzly в сообщении #1039074 писал(а):

Может быть, выложите фотки рукописных записей

Нет, не может: запрещено правилами.

[greg1982]

Задача действительно в в том виде, что привел, очень сложной оказалась. Я потратил листов 12 черновиков, пока не одолел. Наверное, тут нужен остроумный алгебраический подход.

[sergei1961]

Пробую так. Честно составим функцию $f(x,y,z)=10(x+y+z)-3xyz$, ищем экстремумы при ограничениях $g(x)=x^4+y^4+z^4-33=0$. Составляем функцию Лагранжа, приравниваем четыре производные нулю. Выражаем и приравниваем \lambda из двух из трёх первых уравнений, в которых производные по переменным. Получаем три тождества вида $3z(y^4-x^4)=10(y^3-x^3)$ , два других с круговыми перестановками. Складываем их, получается тождество для нахождения экстремумов

$$ x(z^4-y^4)+y(x^4-z^4)+z(y^4-x^4)=0. $$

Просим помощи у Математики, она волшебным образом раскладывает

$$ x(z^4-y^4)+y(x^4-z^4)+z(y^4-x^4)=(x-y)(x-z)(y-z)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)=0. $$

Тривиальные экстремумы понятно, осталось разобраться с более длинной скобкой. Наверное, это не так сложно, но я пока не могу сообразить.

[12d3]

sergei1961 в сообщении #1039101 писал(а):

Тривиальные экстремумы понятно, осталось разобраться с более длинной скобкой.

Она в сумму трех квадратов сворачивается.

[sergei1961]

Ну тогда и всё, осталось подставить и посчитать все экстремумы. Раз форма квадратичная положительно определённая. Интересно, что два разных метода Лагранжа-для условных экстремумов и квадратичных форм-встретились в одном месте.

[arqady]

Всё правильно sergei1961!

sergei1961 в сообщении #1039101 писал(а):

Просим помощи у Математики, она волшебным образом раскладывает

$$x(z^4-y^4)+y(x^4-z^4)+z(y^4-x^4)=(x-y)(x-z)(y-z)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx) $$

Это формула сокращённого умножения!
Интересно, Математика сможет получить следующую формулу сокращённого умножения?
Пусть $a+b+c=3u$, $ab+ac+bc=3v^2$ и $abc=w^3$.
Представить $(a-b)^2(a-c)^2(b-c)^2$ как многочлен от $u$, $v$ и $w$.

[greg1982]

Да, но как же все-таки прийти к ответу нашей задачи?

[sergei1961]

Напоминает: а где же всё-таки чёрный принц... Найдены 4 точки экстремумов. Подставить их в функцию и найти максимум.

-- 21.07.2015, 15:46 --

Раскладывает:

 SymmetricReduction[(x-y)^2 (x-z)^2 (y-z)^2,{x,y,z}]=
 {-27 x2 y2 z2-4 x y z (x+y+z)3+18 x y z (x+y+z) (x y+x z+y z)+(x+y+z)2 (x y+x z+y z)2-4 (x y+x z+y z)3}=
s1^2 s2^2 - 4 s2^3 - 4 s1^3 s3 + 18 s1 s2 s3 - 27 s3^2,

где s1,s2,s3 - настоящие симметрические полиномы, у Вас они отличаются множителями и степенями.
Извините, степени после скобок стали множителями, но формула понятна, красиво перенести не умею.

Deggial: sergey1961, оформляйте код тегом code

[arqady]

sergei1961 в сообщении #1039137 писал(а):

но формула понятна, красиво перенести не умею.

Вот: $(a-b)^2(a-c)^2(b-c)^2=27(3u^2v^4-4v^6-4u^3w^3+6uv^2w^3-w^6)$.
Ужас какой, а я это всё делаю вручную!