Прецессия гироскопа и гироскопический момент

[Ingus]

Цитирую по Болотину (курсив мой):
Правило Жуковского. Если гироскоп, вращающийся с угловой скоростью $\omega_1$ вокруг оси симметрии (Земля в ее суточном вращении), поворачивают вокруг некоторой неподвижной оси симметрии с угловой скоростью $\omega_2$ (орбитальное движение), то возникает момент $M_0$, стремящийся повернуть ось симметрии гироскопа к оси сообщаемого вращения так, чтобы при совпадении этих осей угловые скорости $\omega_1$ и $\omega_2$ были направлены в одну сторону.
Конец цитаты.
Ну вроде понятно. Ведь известно, что направление прецессии Земной оси указывает, что вызывающий ее момент приложен так, чтобы совместить эту ось с осью орбитального движения.

А это тот самый момент, который вызывает прецессию ?

У Болотина скорость прецессии Земной оси названа $\omega_2$. Так $\omega_2$ это скорость прецессии или скорость переносного движения... Не понимаю.

Скорость прецессии гироскопа по Таргу: $\Omega=\frac{M}{I \omega \sin(\theta)}$
У Матвеева : $\Omega=\frac{M}{I \omega}$. Это опечатка?

Допустим, Земля однородный шар, равномерно вращающийся вокруг оси, проходящей через центр масс. Как влияет орбитальное движение Земли на поведение ее оси. Подойдут для описания процесса кинематические уравнения Эйлера для случая, когда центр масс совершает переносное движение, а именно равномерное вращение?

[Ingus]

Динамика твердого тела с неподвижной точкой описывается уравнениями Эйлера:
Матвеев А. Н. Механика и теория относительности: Учеб. для студентов вузов /
А. Н. Матвеев. — 3-е изд. — М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС
21 век»: 000 «Издательство «Мир и Образование», 2003. — 432 с: ил. , стр. 319

$I_x\frac{d\omega_x}{dt}+(I_z-I_y)\omega_y\omega_z=M_x$
$I_y\frac{d\omega_y}{dt}+(I_x-I_z)\omega_z\omega_x=M_y$
$I_z\frac{d\omega_z}{dt}+(I_y-I_x)\omega_x\omega_y=M_z$

Допустим на тело не действуют никакие моменты. Можно считать вторые слагаемые моментами кориолисовых сил? Наверное можно. Если тело -шар, его вращение ничем не возмущается и ось вращения покоится в пространстве. Если не шар - возможна нутация. Все знают, что период нутации определяется неравенством главных центральных моментов инерции. А чем определяется амплитуда нутации?
Пусть теперь тело "покоится" на круговой орбите: на него действуют гравитационные моменты:
Владимир Васильевич Белецкий. Движение искусственного спутника относительно центра масс М., 1965 г., 416 стр. с илл.
(Серия: «Механика космического полета») , стр. 30

$M_{x’}=3\frac{\mu}{R^3}(C-B)\gamma’\gamma’’$
$M_{y’}=3\frac{\mu}{R^3}(A-C)\gamma’’\gamma$
$M_{z’}=3\frac{\mu}{R^3}(B-A)\gamma\gamma’$

или кратко

$\mathbf{M}=3\omega_0^2 [\mathbf{\gamma}, J_s \mathbf{\gamma}]$

Я сказал "покоится", потому что на тело, движущееся по орбите действуют еще и силы инерции. Орбитальная система отсчета неинерциальна.

Обратимся теперь к Болотину соавторы:
Теоретическая механика. Болотин С.В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В., 2010, стр. 279

$J_s \dot{\omega}_\text{отн}+[\omega_\text{отн},J_s \omega_\text{отн}]-\omega_0 J_s[\omega_\text{отн},\beta]=3\omega_0^2[\gamma,J_s\gamma]- \omega_0^2[\beta,J_s\beta]$

Распишем это векторное равенство по осям (хотя бы по одной):

$A \dot{\omega_1}+(C-B)\omega_2\omega_3$=3\omega_0^2(C-B)\gamma_2\gamma_3-\omega_0^2(C-B)\beta_2\beta_3+A\omega_0(\omega_2\beta_3-\omega_3\beta_2)\
То есть
$M_x=M_1=3\omega_0^2(C-B)\gamma_2\gamma_3-\omega_0^2(C-B)\beta_2\beta_3+A\omega_0(\omega_2\beta_3-\omega_3\beta_2)$
Получается, что орбитальное движение создает возмущающие моменты - центробежные, кориолисовы и гравитационные (приливные). Причем кориолисов момент действует даже на шар у которого все моменты инерции равны.
В чем я не прав? Не вызвана ли прецессия земной оси совместным действием приливных гравитационных сил Солнца и переносных сил инерции орбитального движения- центробежной и кориолисовой, а нутация - кориолисовой силой от собственного вращения...?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

[Ingus]

Подскажите, пожалуйста, чему равны проекции момента силы тяжести на подвижные оси волчка Лагранжа через углы Эйлера..
Пусть подвижная $r$ и неподвижная $R$ система связана матрицей поворота $A$:

$$\begin{bmatrix} \cos\psi \cos\varphi - \cos\theta \sin\psi \sin\varphi & - \cos\psi \sin\varphi - \cos\theta \cos\varphi \sin\psi & \sin\psi \sin\theta \\ \cos\varphi \sin\psi + \cos\psi \cos\theta \sin\varphi & \cos\psi \cos\theta \cos\varphi - \sin\psi \sin\varphi & - \cos\psi \sin\theta \\ \sin\theta \sin\varphi & \cos\varphi \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$$

$\left\lbrace R\right\rbrace=\left\lVert A \right\rVert \left\lbrace r \right\rbrace$

Момент силы тяжести в неподвижной системе:

$M_X=m g l \sin\theta \cos\psi$

$M_Y=m g l \sin\theta \sin\psi$

$M_Z=0$

Тогда, через обратную матрицу поворота, момент силы тяжести в проекции на главные центральные оси инерции (подвижные) будут:

$M_x=m g l \sin\theta \cos\varphi$

$M_y=-m g l \sin\theta \sin\varphi$

$M_z=0$

Все правильно? Или нет?