2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите вывести неравенство
Сообщение05.07.2015, 19:44 


08/09/13
209
Пусть даны некоторые $P$ и целое $n>0$. Определим $P_t = P^{(1 - \frac{1}{n})^t}$ для $t = 1, \dots, l$ и $P_l \geq (6n)^n$
Утверждается, что $\prod \limits_{t=0}^{l-1} {(1+{P_t}^{-\frac{1}{n}})^{2n(l-t-1)}} \leq e^{\frac{nl}{3 \ln(6n)}}$.

Ясно, что для разбора проще $\sum \limits_{t=0}^{l-1} {2n(l-t-1) \ln(1+{P_t}^{-\frac{1}{n}})} \leq \frac{nl}{3 \ln(6n)}$ или даже дающее решение проблемы неравенство $\sum \limits_{t=0}^{l-1} {\frac{2n(l-t-1)}{ (6n)^{(1-\frac{1}{n})^{(l-t)}} }} \leq \frac{nl}{3 \ln(6n)}$.

Но как бодаться даже с этими зверями непонятно. Прежде всего создают вид неприступности эти самые двойные степенные конструкции и то, что, вроде, суммирование идёт по $l$ членам с умножением на $t$, но в результате нет умножения на $l^2$, а вместо него просто $l$. Ясно, что степенные конструкции поглощают $t$ достаточно быстро, но как изложить это формально?

Контекст неравенства очень громоздок и я не думаю, что он поможет в решении. Говоря кратко, это из доказательства теоремы Виноградова про оценку интеграла целой степени суммы Вейля при достаточно большой степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите вывести неравенство
Сообщение05.07.2015, 22:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1838
Москва
Вы по какому источнику знакомитесь с теоремой о среднем? У Вас классическое доказательство или "$p$-адическое", использующее системы сравнений по модулям $p^k $?

Обычно стараются избавиться от $(1-\frac1n)^t $, оценив его сверху или снизу по возможности точнее, по-разному при разных соотношениях параметров.

-- 05.07.2015, 22:11 --

Почему не $l^2$. Когда вынесете $nl $ за знак суммы, надо свести оставшееся к геометрической прогрессии, тогда длина суммы не будет иметь значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите вывести неравенство
Сообщение07.07.2015, 08:48 


08/09/13
209
Знакомлюсь по книге Виноградова "Метод тригонометрических сумм в теории чисел" (стр. 55-63). Доказательство через рассмотрение сумм не $P$, а $P_t$ членов и их степеней и оценке исследуемой величины через них... На словах сложно объяснить. Это авторское доказательство Виноградова 1965 года.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите вывести неравенство
Сообщение07.07.2015, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1838
Москва
Это не очень удачный выбор. Примерно то же, что знакомиться с квадратичным законом взаимности по работам Гаусса. С тех пор доказательство было упрощено и структурировано. Рекомендую книгу Карацубы "Основы аналитической теории чисел". Доказательство, которое приведено там, реально разобрать (сам делал), хотя кое-что и пропущено. Можете задавать вопросы по нему. Еще у меня есть текст, где я разжевал это доказательство до состояния каши, могу здесь выложить, но это недели через две только.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите вывести неравенство
Сообщение07.07.2015, 15:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6086

(ex-math)

ex-math в сообщении #1034324 писал(а):
Еще у меня есть текст, где я разжевал это доказательство до состояния каши, могу здесь выложить, но это недели через две только.

О, это было бы здорово!

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите вывести неравенство
Сообщение07.07.2015, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1838
Москва

(grizzly)

Вы, наверно, не то подумали. Идейно разжевать у меня зубов не хватает. Я разжевал в техническом плане, чтобы не оставалось вопросов как у ТС, "откуда это неравенство" и, соответственно, не было недоверия к теореме. ОК, выложу, когда буду в городе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите вывести неравенство
Сообщение17.07.2015, 09:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1838
Москва
Выполняю свое обещание.


Вложения:
Комментарий к файлу: Подробный разбор доказательства теоремы о среднем из книги А.А.Карацубы
mtos.pdf [100.9 Кб]
Скачиваний: 49
 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group