Помогите вывести неравенство

[fractalon]

Пусть даны некоторые $P$ и целое $n>0$. Определим $P_t = P^{(1 - \frac{1}{n})^t}$ для $t = 1, \dots, l$ и $P_l \geq (6n)^n$
Утверждается, что $\prod \limits_{t=0}^{l-1} {(1+{P_t}^{-\frac{1}{n}})^{2n(l-t-1)}} \leq e^{\frac{nl}{3 \ln(6n)}}$.

Ясно, что для разбора проще $\sum \limits_{t=0}^{l-1} {2n(l-t-1) \ln(1+{P_t}^{-\frac{1}{n}})} \leq \frac{nl}{3 \ln(6n)}$ или даже дающее решение проблемы неравенство $\sum \limits_{t=0}^{l-1} {\frac{2n(l-t-1)}{ (6n)^{(1-\frac{1}{n})^{(l-t)}} }} \leq \frac{nl}{3 \ln(6n)}$.

Но как бодаться даже с этими зверями непонятно. Прежде всего создают вид неприступности эти самые двойные степенные конструкции и то, что, вроде, суммирование идёт по $l$ членам с умножением на $t$, но в результате нет умножения на $l^2$, а вместо него просто $l$. Ясно, что степенные конструкции поглощают $t$ достаточно быстро, но как изложить это формально?

Контекст неравенства очень громоздок и я не думаю, что он поможет в решении. Говоря кратко, это из доказательства теоремы Виноградова про оценку интеграла целой степени суммы Вейля при достаточно большой степени.

[ex-math]

Вы по какому источнику знакомитесь с теоремой о среднем? У Вас классическое доказательство или "$p$-адическое", использующее системы сравнений по модулям $p^k $?

Обычно стараются избавиться от $(1-\frac1n)^t $, оценив его сверху или снизу по возможности точнее, по-разному при разных соотношениях параметров.

-- 05.07.2015, 22:11 --

Почему не $l^2$. Когда вынесете $nl $ за знак суммы, надо свести оставшееся к геометрической прогрессии, тогда длина суммы не будет иметь значения.

[fractalon]

Знакомлюсь по книге Виноградова "Метод тригонометрических сумм в теории чисел" (стр. 55-63). Доказательство через рассмотрение сумм не $P$, а $P_t$ членов и их степеней и оценке исследуемой величины через них... На словах сложно объяснить. Это авторское доказательство Виноградова 1965 года.

[ex-math]

Это не очень удачный выбор. Примерно то же, что знакомиться с квадратичным законом взаимности по работам Гаусса. С тех пор доказательство было упрощено и структурировано. Рекомендую книгу Карацубы "Основы аналитической теории чисел". Доказательство, которое приведено там, реально разобрать (сам делал), хотя кое-что и пропущено. Можете задавать вопросы по нему. Еще у меня есть текст, где я разжевал это доказательство до состояния каши, могу здесь выложить, но это недели через две только.

[grizzly]

(ex-math)

ex-math в сообщении #1034324 писал(а):

Еще у меня есть текст, где я разжевал это доказательство до состояния каши, могу здесь выложить, но это недели через две только.

О, это было бы здорово!

[ex-math]

(grizzly)

Вы, наверно, не то подумали. Идейно разжевать у меня зубов не хватает. Я разжевал в техническом плане, чтобы не оставалось вопросов как у ТС, "откуда это неравенство" и, соответственно, не было недоверия к теореме. ОК, выложу, когда буду в городе.

[ex-math]

Выполняю свое обещание.