Помогите понять что это?

[yocule]

Иногда на меня находит грустное настроение и я бездумно перебираю формулы по разному их комбинируя (в рамках математики конечно).

Я заметил, что если взять формулу связи полной энергии частицы $E$ с ее импульсом $p$ и массой $m$ (определяется инвариантом — длиной четырехмерного вектора ${E, ipc}$):

$E^2 - p^2 c^2 = (mc^2)^2$

и формулу полной энергии частицы $E$ как сумму кинетической энергии $E_k$ и энергии покоя $E_0$:

$E = E_k + E_0$

то можно получить вот такую формулу:

$E^2 = E_k^2 + E_\nu^2 + E_0^2$

где $E_\nu = h\nu$ — знаменитая формула cвязи между энергией частицы $E$ и частотой $\nu$ волны де Бройля. Да и вообще получается, что эта $E_\nu^2 = 2 E_k E_0.

Смысл сих формул остался для меня не понятен... Что это? Бред и ошибка?



Полный вывод таков:

$E^2 - p^2 c^2 = (mc^2)^2$
$E_0=m c^2 \Rightarrow E^2 - p^2 c^2 = E_0^2$
$p^2 c^2 = E^2 - E_0^2$

$E = E_k + E_0$
$E^2 = E_k^2 + 2 E_k E_0 + E_0^2$

$p^2 c^2 = E_k^2 + 2 E_k E_0 + E_0^2 - E_0^2$
$p^2 c^2 = E_k^2 + 2 E_k E_0$

$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h \nu}{c}$
и
$E_k = \frac{p^2}{2m}$
$\Rightarrow E_k = \frac{(h \nu)^2}{2 m c^2}$

$p^2 c^2 = E_k^2 + \frac{2 m c^2 (h \nu)^2}{2 m c^2}$
$p^2 c^2 = E_k^2 + (h \nu)^2$
$p^2 c^2 = E_k^2 + E_\nu^2$

Итого:

$E^2 = (mc^2)^2 + p^2 c^2$
$E^2 = E_k^2 + E_\nu^2 + E_0^2$

[Munin]

yocule в сообщении #1037113 писал(а):

Помогите понять что это?
Иногда на меня находит грустное настроение и я бездумно перебираю формулы по разному их комбинируя

Это бред, конечно же. И к физике не имеет ни малейшего отношения, и к физическому форуму - тоже.

-- 14.07.2015 23:14:38 --

yocule в сообщении #1037113 писал(а):

и
$E_k = \frac{p^2}{2m}$

Эта формула - нерелятивистская, ею нельзя пользоваться вместе с релятивистскими. Отсюда и пошла дальше ошибка.

[yocule]

Тогда пост можно на свалку

Верность некоторых математических операций у меня вызывала сомнения.

[Munin]

Приятно видеть человека, который не держится за свои ошибки.

Релятивистская формула кинетической энергии - это буквально следствие релятивистской формулы полной и собственной энергии частицы:
$E_k=E-E_0=\dfrac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-mc^2,$
так что с импульсом она связана так:
$E_k=E-E_0=\sqrt{p^2c^2+(mc^2)^2}-mc^2.$
И подставляя эту формулу в предыдущие, вы ничего нового не получите, потому что она из них и следует однозначно.

[yocule]

Munin в сообщении #1037161 писал(а):

Приятно видеть человека, который не держится за свои ошибки.

Боюсь Вас расстроить, но мне перед сном пришла идея как "спасти" формулу.

Munin в сообщении #1037130 писал(а):

yocule в сообщении #1037113 писал(а):

и
$E_k = \frac{p^2}{2m}$

Эта формула - нерелятивистская, ею нельзя пользоваться вместе с релятивистскими. Отсюда и пошла дальше ошибка.

Боюсь ошибка не в этой формуле.

Возьмем релятивистскую формулу кинетической энергии частицы $E_k$:

$E_k = E - E_0 = \dfrac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - mc^2$

Перепишем ее так:

$E_k = m c^2 (\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - 1) = m c^2 (\dfrac{1 - \sqrt{1-v^2/c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}) =$
$= m c^2 (\dfrac{(1 - \sqrt{1-v^2/c^2})(1 + \sqrt{1-v^2/c^2})}{(\sqrt{1-v^2/c^2})(1 + \sqrt{1-v^2/c^2})}) = m c^2 (\dfrac{1 - 1 + v^2/c^2}{1 - v^2/c^2 + \sqrt{1-v^2/c^2}})=$
= \dfrac{m v^2}{1 - v^2/c^2 + \sqrt{1-v^2/c^2}}$


Затем:

$E = E_k + E_0$
$E^2 = E_k^2 + 2 E_k E_0 + E_0^2$

Рассмотрим подробнее $2 E_k E_0$:

$2 E_k E_0 = 2 m c^2 (\dfrac{m v^2}{1 - v^2/c^2 + \sqrt{1-v^2/c^2}}) = \dfrac{2 (m v c)^2}{1 - v^2/c^2 + \sqrt{1-v^2/c^2}}$

И опять же:

$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h \nu}{c}$
$p c = h \nu$
$p = \frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \Rightarrow \frac{m v c}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = h \nu$
$m v c = h \nu \sqrt{1-v^2/c^2}$

Тогда:

$2 E_k E_0 = \dfrac{2 ( h \nu)^2 (1-v^2/c^2) }{1 - v^2/c^2 + \sqrt{1-v^2/c^2}}$

В не релятивистском случае при $v \ll c$ можно принять $v^2/c^2 $\approx 0$$, а значит

$2 E_k E_0 \approx (h \nu)^2}$


Скорее тут ошибка в том что формулу $p = \frac{h}{\lambda}$ по какой-то причине нельзя применять в данном случае или я применяю ее с ошибкой... Или я по глупости смешиваю в одну кашу два случая движения: со скоростью $v$ и со скоростью $c$. Но я опять же не уверен.

Munin в сообщении #1037161 писал(а):

Релятивистская формула кинетической энергии - это буквально следствие релятивистской формулы полной и собственной энергии частицы:
$E_k=E-E_0=\dfrac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-mc^2,$
так что с импульсом она связана так:
$E_k=E-E_0=\sqrt{p^2c^2+(mc^2)^2}-mc^2.$
И подставляя эту формулу в предыдущие, вы ничего нового не получите, потому что она из них и следует однозначно.

Видно я глуп, но мне это совсем не однозначно.

[arseniiv]

yocule в сообщении #1037216 писал(а):

Или я по глупости смешиваю в одну кашу два случая движения: со скоростью $v$ и со скоростью $c$.

В том и дело, что с правильным подходом их не нужно различать. (И ещё тут неточность, т. к. если не указано $v\ne c$, может быть $v=c$.)

yocule в сообщении #1037216 писал(а):

Видно я глуп, но мне это совсем не однозначно.

Для простоты используйте в выкладках $\beta=v/c$ и $\gamma=(1-\beta^2)^{-1/2}$.

yocule в сообщении #1037216 писал(а):

$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h \nu}{c}$
$p c = h \nu$

А-та-та. $E=pc$ (и, соответственно, $\nu = \lambda c$) только сами знаете когда. Неуниверсально. И даже противоречит следующему потом за этим предположению о малости скоростей.

-- Ср июл 15, 2015 04:55:43 --

Ещё один способ заметить противоречие — это посмотреть на то самое $2E_kE_0$, равное ещё и $E^2 - E_k^2 - E_0^2$. При малых скоростях $E_0^2$ никуда не денется, так что можно написать лишь $2E_kE_0\approx (h\nu)^2 - E_0^2$, хотя всё равно непонятно для чего.

-- Ср июл 15, 2015 04:56:12 --

Т. е. вам просто внимательности немного не хватает.

[Cos(x-pi/2)]

Маленько усугублю критику (всё то же, но слегка другими словами).

yocule

Однозначно - всю эту вашу тему "на свалку", как вы сами выразились. Ведь вы здесь постоянно себе очевидным образом противоречите и почему-то не хотите этого замечать. Вот, смотрите:

1) Верно, что

$E=\sqrt{(mc^2)^2+(pc)^2}\, , \qquad (1)$

и верно, что можно записать такое равенство:

$E=E_k+mc^2$ .

Но тогда уже здесь нельзя в роли $E_k$ применять нерелятивистское выражение $\frac{p^2}{2m}$ (как вы почему-то делаете), ибо, если его сюда подставить, то с очевидностью получается противоречие с первой формулой.

Если хочется иметь выражение для $E_k,$ то его следует вывести именно из первой формулы, а не брать с потолка. (Тогда, естественно, всё будет верно, но ничего нового из одних и тех же формул больше не получится). На всё это вам уже указал Munin.

2) Верно, что можно записать:

$E=h \nu \, , \qquad p=\frac{h}{\lambda} \, .\qquad (2)$

Подставив это в исходную формулу $(1)$, получим верное равенство:

$h \nu = \sqrt{(mc^2)^2+(\frac{hc}{\lambda})^2}$ .

Но отсюда видно невооружённым глазом, что здесь нельзя полагать (как вы почему-то делаете), будто $ \frac{h}{\lambda}$ равно $\frac{h \nu}{c}.$

Отсюда видно, что равенство $\frac{h}{\lambda} = \frac{h \nu}{c}$ будет верным только в случае с $m=0.$ Примером таких (т.е. безмассовых) частиц-квантов служат фотоны - кванты энергии и импульса электромагнитных волн; у электромагнитных волн частота связана с длиной волны как раз простой формулой $\nu=\frac{c}{\lambda},$ а скорость их распространения $v=c.$

В общем, ключевая ваша ошибка здесь:

yocule в сообщении #1037113 писал(а):

я бездумно перебираю формулы

Бездумные действия привели вас к бессмыслице, чего и следовало ожидать...

[yocule]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1037247 писал(а):

Бездумные действия привели вас к бессмыслице, чего и следовало ожидать...

Теперь точно можно тему на свалку.

Спасибо, Munin, arseniiv, Cos(x-pi/2)!

Разбираться в чужих формулах адски трудно (тем более в заведомо неправильных), но вы разобрались и помогли. Спасибо еще раз.

[Munin]

yocule в сообщении #1037216 писал(а):

Перепишем ее так:

$E_k = m c^2 (\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - 1) = m c^2 (\dfrac{1 - \sqrt{1-v^2/c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}) =$
$= m c^2 (\dfrac{(1 - \sqrt{1-v^2/c^2})(1 + \sqrt{1-v^2/c^2})}{(\sqrt{1-v^2/c^2})(1 + \sqrt{1-v^2/c^2})}) = m c^2 (\dfrac{1 - 1 + v^2/c^2}{1 - v^2/c^2 + \sqrt{1-v^2/c^2}})=$
$= \dfrac{m v^2}{1 - v^2/c^2 + \sqrt{1-v^2/c^2}}$

А вот это хорошо, надо будет запомнить... :-) (саму идею, конечно)

[arseniiv]

А чем это лучше разложения

$$\gamma = 1 + \frac12\beta^2 + \frac38\beta^4 + \frac5{16}\beta^6 + \frac{35}{128}\beta^8 + \ldots{?}$$

(Я ещё вчера заинтересовался несколькими коэффициентами дальше второго, так что надо же их наконец-то куда-то деть! )

(Оффтоп)

Вообще, не секрет, что

$$\gamma = \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k-1)!!}{2^k\, k!}\,\beta^{2k}.$$

[Munin]

arseniiv в сообщении #1037569 писал(а):

А чем это лучше разложения

$$\gamma = 1 + \frac12\beta^2 + \frac38\beta^4 + \frac5{16}\beta^6 + \frac{35}{128}\beta^8 + \ldots{?}$$

Просто тем, что без многоточия.

[arseniiv]

А если его заменить на $o(\beta^9)$?