Рациональная функция

[RIP]

Допустим, что последовательность комплексных чисел $\{a_n\}_{n=0}^\infty$ такова, что функции $\sum_{n=0}^\infty a_n^2z^n$ и $\sum_{n=0}^\infty a_na_{n+1}z^n$ рациональны, причём при всех достаточно больших $n\quad a_n\ne0$. Обязательно ли функция $\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ является рациональной?