Ну вообще-то для положительной определенности нужен знак

, требование, чтобы все

были различны, а вектор

был ненулевым.
Итак, для любых различных

нам нужно доказать, что матрица

является положительно определенной. Индукцией по

с использованием критерия Сильвестра задача сводится к доказательству того, что

.
Без потери общности можно считать, что

(иначе переставляем строки и столбцы

). Умножим каждую

-ю строку матрицы

на

, а затем разделим каждый

-й столбец на

, в результате определитель матрицы не изменится, а сама она примет вид:
Вычитая предпоследнюю строку из последней, и раскладывая определитель по последней строке получаем:
ч.т.д.