Бесконечное произведение с косинусом

[Хорхе]

Еще лучше - от логарифма этой беды.

[Hotjoke1]

Хорхе в сообщении #534487 писал(а):

А посчитайте $\prod_{n=0}^\infty \cos \frac x{2^n}$, тогда станет понятно.

Someone в сообщении #534490 писал(а):

Получается $\frac{\sin2x}{2x}$. Да, понял.

Хорхе, Someone, не могли бы вы разъяснить как считать такое произведение?

[zcorvid]

Hotjoke1 в сообщении #1021232 писал(а):

Хорхе в сообщении #534487 писал(а):

А посчитайте $\prod_{n=0}^\infty \cos \frac x{2^n}$, тогда станет понятно.

Someone в сообщении #534490 писал(а):

Получается $\frac{\sin2x}{2x}$. Да, понял.

Хорхе, Someone, не могли бы вы разъяснить как считать такое произведение?

Возьмите произведение не бесконечное, а кусочек, от $1$ до $n$, и вычислите его формулой, затем устремите получившееся выражение при $n \to \infty$, и вычислите предел (просто вычисление по определению, вычислили "частичное произведение" и устремили $n$ к бесконечности).

Чтобы найти частичное произведение $\prod\limits_{k = 0}^{n} \sin(\frac{x}{2^k})$ попробуйте домножить его справа на $\sin(\frac{x}{2^n})$ и воспользоваться одной полезной тригонометрической формулой из школьного курса .

Задача довольно простая, я итак уже почти всё решение выдал, надеюсь, этого будет более чем достаточно.

[Lia]

zcorvid
Замечание за некропостинг.

[pcyanide]

Хорхе в сообщении #534487 писал(а):

А посчитайте $\prod_{n=0}^\infty \cos \frac {x}{2^n}$, тогда станет понятно.

Может, кому-то и понятно, но... не всем.

Расшифрую то, что здесь сказано:

$$ P_k(x)=\cos(x)\cdot \cos(\frac{x}{2})... \cos(\frac{x}{2^k}) $$ $$ \sin\left(\frac{x}{2^k}\right)P_k(x)=\cos(x)\cdot \cos(\frac{x}{2})... \cos(\frac{x}{2^k})\sin(\frac{x}{2^k}) = \frac{1}{2}\cos(x)\cdot \cos(\frac{x}{2})... \cos(\frac{x}{2^{k-1}})\sin(\frac{x}{2^{k-1}}) $$ $$ \sin\left(\frac{x}{2^k}\right)P_k(x)=\frac{1}{2^2}\cos(x)\cdot \cos(\frac{x}{2})... \cos(\frac{x}{2^{k-2}})\sin(\frac{x}{2^{k-2}})=... =\frac{1}{2^k}\sin(x) $$ $$ P_k(x) = \frac{\frac{1}{2^k}\sin(x)}{\sin\left(\frac{x}{2^k}\right)} $$

Таким образом $P_\infty(x) =\dfrac{\sin(x)}{x}$

Полагая x=0, получаем $\prod_{n=0}^\infty \cos \frac {1}{2^n}=P_\infty(0)=1$

Но в условии ведь речь идет о дугом произведении! Объясните, пожалуйста.