Доказать тождество

[Lion]

Решая одну задачу, я столкнулся с необходимостью доказать такое тождество:

$$\frac{1}{2^l}\sum\limits_{k=1}^{l-1}\frac{(2k-1)!!(2l-2k-1)!!}{k!(l-k)!}=1-\frac{(2l-1)!!}{2^{l-1}l!}.$$

Стыдно сказать, но я без идей...
Пробовал индукцией --- не получается. Может ли кто-нибудь помочь?

[Gafield]

Для таких задач уже разработаны методы решения. См., напр., Грэхем, Кнут, Поташник "Конкретная математика". Если знаешь английский, то в Petkovsek, Wilf, Zeilberger "A=B" имеются более подробные описания и общие методы с примерами подсчетов в Maple и Mathemаtica. Книжка имеется в интернете. В конце приводятся описание реализованных процедур в Mathemаtica и ссылки на них в сети. Краткая инструкция имеется на с. 124.

Первым шагом было бы умножение на $l!$ и перенос последнего слагаемого в левую часть, чтобы сумма была от $0$ до $l$, а справа стояла единица.

[RIP]

Сравните коэффициент при $z^l$ в левой и правой части равенства
$(1-z)^{-1}=(1-z)^{-1/2}\cdot(1-z)^{-1/2}$
и получите в точности Ваше тождество.

[bobo]

Пусть выражение под суммой равно $a_k$, тогда можно подобрать коэффициенты линейной функции $f(x)$ так, что бы выполнялось $a_k = a_{k+1}f(k+1) - a_kf(k)$ ( c точностью до постоянного множителя ).

[Lion]

Всем большое спасибо, разобрался!