Какие простейшие координаты на многомерной сфере?

[Dims]

Допустим, есть многомерное пространство точек, в котором существует расстояние. Допустим, в этом пространстве введены ортонормированные координаты так, что каждая точка представляется столбцом из чисел.

Если рассмотреть точку начала отсчёта, то всё остальное пространство представится для неё как бы на воображаемой "небесной сфере". Так?

Мне непонятно, какие можно ввести координаты на этой сфере?

На обычной сфере вводятся две координаты: широта и долгота. Но они разные по своей природе. Широта меняется от -пи/2 до +пи/2, а долгота -- от -пи до пи. Причём в полюсах долгота неоднозначна, а широта однозначна.

А что будет во множестве измерений? Будет ли там несколько широт и одна долгота? Или несколько долгот, но одна широта? Или там будет N координат с различными свойствами?

Есть ли какая-то система координат, в которую проще всего переходить из обычных координат точек?

И ещё дополнительный вопрос: можно ли сферу разбить на правильные одинаковые многоугольные (и, в частности, 6 угольные) фигуры? Футбольный мяч, вроде бы, состоит из 5 и 6 угольников. Это неизбежно?

[AD]

Многомерные сферические координаты существуют и описаны даже в Демидовиче, вроде бы. Формулы замены
$x_1=r\cos\varphi_1\cos\varphi_2\cdots\cos\varphi_{n-2}\cos\varphi_{n-1}$,
$x_2=r\cos\varphi_1\cos\varphi_2\cdots\cos\varphi_{n-2}\sin\varphi_{n-1}$,
$x_3=r\cos\varphi_1\cos\varphi_2\cdots\sin\varphi_{n-2}$,
$\cdots$
$x_{n-1}=r\cos\varphi_1\sin\varphi_2$
$x_n=r\sin\varphi_1$

[Профессор Снэйп]

Сечение $n$-мерной сферы гиперплоскостью есть $(n-1)$-мерная сфера. Так что естественная система координат понятна: широта + все координаты из случая, когда размерность на единицу меньше.

Например, для $S^3$ (сферы в $\mathbb{R}^4$) координаты --- это две широты (одна "четырёхмерная" и одна "трёхмерная") и долгота. Одну из "широт" можно назвать как-то по особому.

Ну а если речь идёт о бесконечномерном пространстве, то вряд ли там можно каким-то разумным образом координаты вводить.

Добавлено спустя 1 минуту 48 секунд:

AD писал(а):

Многомерные сферические координаты существуют и описаны даже в Демидовиче, вроде бы. Формулы замены
$x_1=r\cos\varphi_1\cos\varphi_2\cdots\cos\varphi_{n-2}\cos\varphi_{n-1}$,
$x_2=r\cos\varphi_1\cos\varphi_2\cdots\cos\varphi_{n-2}\sin\varphi_{n-1}$,
$x_3=r\cos\varphi_1\cos\varphi_2\cdots\sin\varphi_{n-2}$,
$\cdots$
$x_{n-1}=r\cos\varphi_1\sin\varphi_2$
$x_n=r\sin\varphi_1$

Для полноты картины надо ещё указать, в каких пределах углы меняются.

[Brukvalub]

Dims писал(а):

Допустим, есть многомерное пространство точек, в котором существует расстояние. Допустим, в этом пространстве введены ортонормированные координаты так, что каждая точка представляется столбцом из чисел.

Какая-то невнятная у Вас постановка задачи. То ли пространство просто метрическое, то ли векторное со скалярным произведением, то ли конечномерное, то ли нет... При такой постановке непонятно, что и ответить...

[AD]

Dims писал(а):

можно ли сферу разбить на правильные одинаковые многоугольные (и, в частности, 6 угольные) фигуры?

Известно пять правильных многогранников (тетраэдр (4 треугольничка, "пирамидка"), куб (сами знаете, 6 квадратов), октаэдр (8 треугольников, две склеенные пирамидки), икосаэдр (20 треугольников, сходятся по пять в вершине), и додекаэдр (12 пятиугольников), и легко доказывается, что других не бывает. Скажем, если сферу разбивать на шестиугольники, то в каждой вершине сойдутся хотя бы три правильных шестиугольника, и у каждого будет угол $120^\circ$, то есть уже суммарный угол $360^\circ$, следовательно, этот трехгранный угол будет "плоским", то есть шестиугольники просто лежат в одной плоскости, противоречие. В общем случае доказательство совершенно такое же.

[Someone]

Dims писал(а):

можно ли сферу разбить на правильные одинаковые многоугольные (и, в частности, 6 угольные) фигуры?

Все такие разбиения можно получить, проектируя правильный многогранник на описанную сферу.[/code]

[AD]

Профессор Снэйп писал(а):

Для полноты картины надо ещё указать, в каких пределах углы меняются.

Ну $\varphi_1$ - от $-\pi$ до $\pi$, а остальные - от $0$ до $2\pi$. Так, вроде .

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Для полноты картины надо ещё указать, в каких пределах углы меняются.

Ну $\varphi_1$ - от $-\pi$ до $\pi$, а остальные - от $0$ до $2\pi$. Так, вроде .

Конечно же не так

Рассмотрите случай $n=3$. Имеем

$$ x = r \cos \varphi \cos \psi $$

$$ y = r \cos \varphi \sin \psi $$

$$ z = r \sin \varphi $$

Здесь $\varphi$ --- широта, а $\psi$ --- долгота. Ясно, что $\psi$ от $-\pi$ до $\pi$ (ну или от $0$ до $2\pi$, если хотите, понятно, что это не важно), а $\varphi$ от $-\pi/2$ до $+\pi/2$.

В случае сферы в $\mathbb{R}^n$ первые $(n-2)$ координат --- это "широты", они от $-\pi/2$ до $+\pi/2$, а последняя --- "долгота", которая от $-\pi$ до $\pi$.

[AlexDem]

Могу посоветовать 3-Sphere и N-Sphere.

3-сфера получается склеиванием двух шаров (см. по первой ссылке: A 3-sphere can be constructed topologically by "gluing" together the boundaries of a pair of 3-balls. The boundary of a 3-ball is a 2-sphere, and these two 2-spheres are to be identified). Осюда очевидно, что на ней одна долгота и две широты: в полюсе (центре 3-шара) пересекаются перпендикулярные плоскости (а параллели полюс не пересекают).

Об этом же говорится по указанным ссылкам - см. разделы "Hyperspherical coordinates", по первой ссылке: where $\psi$ and $\theta$ runs over the range $0$ to $\pi$, and $\phi$ runs over $0$ to $2\pi$, по второй: note that last angle $\phi_{n-1}$ has a range of $2\pi$ while the other angles have a range of $\pi$.

Пока написал, уже столько сообщений накидали...

[AD]

Таак, с углами наглючил-таки, чтд.

[Dims]

Спасибо, дошло.

А так же дошло, что мне нужно было не это. То, что мне нужно найти, называется "разбиение Вороного" вблизи данной точки...

[Dims]

А, может, и придётся: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=12225