Корень кубического уравнения

[Evgenjy]

Не заморачивайтеь Вы этой Виетой.
Как было сказано

Евгений Машеров в сообщении #1034618 писал(а):

Есть такое слово - монотонность...

. Причем можно обойтись и без производных, зная свойства элементарных функций.

[Евгений Машеров]

Без производных сложнее. Но тоже можно. С производной - совсем тривиально.
Не то, чтобы нельзя было доказать через Виета. Но там фактически нужно "почти найти" корни. И тонко проработать случаи трёх действительных и одного действительного при двух комплексных корней.
А можно вообще не зная слова "комплексный". Различая также два случая: $a\ge0$ и $a<0$
Для первого случая ответ очевиден, для второго мат ставится в два хода, для первого пригодится умение брать производную от многочлена (хотя можно обойтись "Алгеброй" за 6й класс, только писать больше).

[Cash]

Так случаи трех действительных уже проработаны. Остался последний шаг, а именно

grizzly в сообщении #1034506 писал(а):

Кстати, Вы знаете, чему равно произведение комплексно-сопряжённых чисел? или как раскладывается кубический многочлен с одним вещественным корнем на множители? Если нет, тогда остаётся только матанализ, наверно.

[grizzly]

Gagarin1968 в сообщении #1035031 писал(а):

Если есть какие-то мысли, вспоможите, граждане.

Страсти накалились. Поэтому давайте на всякий случай проясним ситуацию. Из Вашего стартового поста я сделал вывод, что Вам известен (и может быть использован при решении задачи) следующий факт: у кубического уравнения может быть либо 1 вещественный корень и 2 комплексно сопряжённых, либо 3 вещественных (с учётом кратности). Подтвердите, пожалуйста, что Вы знаете и вправе использовать этот факт в решении задачи.

Если ответ "нет", Вам таки будет лучше пойти путём анализа, как советуют многие участники.

Если ответ "да", тогда Ваш путь проще (тем более, что мы почти пришли) и мы можем продолжить, как предложил Cash.

[Евгений Машеров]

[Gagarin1968]

Cash в сообщении #1035052 писал(а):

Так случаи трех действительных уже проработаны. Остался последний шаг, а именно

grizzly в сообщении #1034506 писал(а):

Кстати, Вы знаете, чему равно произведение комплексно-сопряжённых чисел? или как раскладывается кубический многочлен с одним вещественным корнем на множители? Если нет, тогда остаётся только матанализ, наверно.

Да, теперь знаю. Потратил день на чтение учебника. Теперь всё легло на свои места.
Не нужно никакого матанализа, ни производных, как мне тут многие советовали. Оказалось достаточно формул Виета, алгебры за 8-й класс и минимума логического мышления.
Для случая трёх вещественных корней доказано выше: post1035031.html#p1035031.
Теперь предположим, что $x_1$ - комплексный корень исходного уравнения, тогда существует и комплексно-сопряжённый корень $x_2=\bar{x}_1$.
Так как в этом случае $x_1x_2=x_1\bar{x}_1>0$,
то из второго условия Виета $x_1x_2x_3=b>0$ получаем выражение для $x_3$ - единственного вещественного корня:
$\displaystyle x_3=\frac{b}{x_1\bar{x}_1}$
По условию свободный член $b>0$, знаменатель, как только что выяснили, положителен.
Стало быть, $x_3>0$.
Таким образом исходное утверждение доказано полностью.
Спасибо за помощь товарищу Cash , и особая благодарность товарищу grizzly за идею доказательства. Всё оказалось намного проще, чем казалось вначале.
И потом я прочитал пару глав из учебника, а значит, узнал что-то новое, и, следовательно стал чуточку богаче.

[grizzly]

(Gagarin1968)

Gagarin1968 в сообщении #1035284 писал(а):

узнал что-то новое, и, следовательно стал чуточку богаче.

И Вам спасибо, что довели начатое. Вы решили задачу намеченным Вами способом (пусть с нашей помощью). И понятно, что это даёт Вам какой-то "fun", что, вероятно, в данном случае важнее. Но, пожалуйста, поставьте себе на будущее в памяти маленькую галочку о том, что Вам советовали здесь по поводу анализа. Там ведь всё тоже "намного проще, чем кажется сначала". А советы давали Вам люди, которые лучше Вас (и меня) понимают методику, и очень часто лучше самих ТС знают, что тем нужно. А когда Вам нужно будет разбираться с подобной задачей, использующей анализ, эта галочка будет в каком-то смысле полезна.

[Gagarin1968]

Евгений Машеров в сообщении #1035050 писал(а):

Различая также два случая: $a\ge0$ и $a<0$

Меня тоже немного смутило, что в моём доказательстве обошлось без коэффициента $a$ при $x^2$.
Получается, что единственность положительного корня данного уравнения не зависит от $a$.
Может ли так быть? Или где-то в доказательстве ошибка?

[grizzly]

Gagarin1968 в сообщении #1035326 писал(а):

Получается, что единственность положительного корня данного уравнения не зависит от $a$.
Может ли так быть? Или где-то в доказательстве ошибка?

Единственность положительного -- никак не зависит, ошибки нет.

Всё дело только в том, что при рассмотрении функций и их графиков нам удобнее эти два случая рассмотреть отдельно (хотя результат и там и там будет тот же).

Но раз Вы заинтересовались, я ещё немного поясню, что здесь происходило.
Вы должны честно осознавать, что в нашем доказательстве мы какие-то вещи, важные для понимания первопричин, спрятали в факт, про который договорились, что он нам известен ("или 1 или 3 вещественных корня"). А ведь этот факт тоже можно понять. И понять его проще всего, разобравшись в том, как ведут себя графики кубических функций. (Намного проще, чем через алгебру.) А уж если это понять на графиках, то сама задача станет совсем простой. Вот почему Вам все советовали такой подход.

[Gagarin1968]

grizzly в сообщении #1035332 писал(а):

Вы должны честно осознавать, что в нашем доказательстве мы какие-то вещи, важные для понимания первопричин, спрятали в факт, про который договорились, что он нам известен ("или 1 или 3 вещественных корня"). А ведь этот факт тоже можно понять.

Да, осознаю. Спасибо, что раскрыли мне глаза.

grizzly в сообщении #1035332 писал(а):

сама задача станет совсем простой. Вот почему Вам все советовали такой подход.

Точно. Как говорил персонаж известного фильма: "Хитры вы, легавые, с подходцами вашими".

[Евгений Машеров]

Вообще, если надо проверить единственность корня $f(x)=b$ в заданной области, самое простое идти от монотонности.