Корень кубического уравнения

[Gagarin1968]

Доброй ночи!
У меня затруднение.
Доказать, что уравнение с действительными коэффициентами $x^3+ax^2-b=0$ ($b>0$) имеет один и только один положительный корень.
Вроде бы несложная задача. Пусть $x_1, x_2, x_3$ - корни уравнения. Применим формулы Виета:
$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=0$,
$x_1x_2x_3=b>0$.
А вот тут затыка. Как мне разграничить случаи, если все три корня вещественны и если вещественный только один и два комплексных. Как быть?
Заранее спасибо.

[Oleg Zubelevich]

воспользуйтесь матанализом $x^3+ax^2=b$

[mihailm]

Сложно будет это доказать

[StaticZero]

Скорее всего этим путём никак. Пусть, например, $x_2$ и $x_3$ — комплексные корни. Они сопряжённые. Значит, их произведение вещественно и сумма тоже вещественна, и этим они ничем не отличаются от любых двух действительных чисел.

[mihailm]

Не прочитал, что корень то положительный, ошибся.
Проще всего, наверно как Oleg Zubelevich написал

[Gagarin1968]

mihailm в сообщении #1034486 писал(а):

Сложно будет это доказать

StaticZero в сообщении #1034487 писал(а):

Скорее всего этим путём никак.

Печально. Но задание мне нужно сделать, кровь из носу. Иду думать.

[StaticZero]

Извлеките максимум информации из соотношения $x_1x_2x_3 > 0$.

[grizzly]

Gagarin1968 в сообщении #1034477 писал(а):

Как мне разграничить случаи, если все три корня вещественны и если вещественный только один и два комплексных.

А зачем? Просто подумайте последовательно, как из написанных Вами соотношений ответить на вопросы:
может ли не быть положительного корня?
может ли их быть ровно 2?
может ли их быть ровно 3?

Когда найдёте простые ответы на эти вопросы, останется только ответ на задачу.

Кстати, Вы знаете, чему равно произведение комплексно-сопряжённых чисел? или как раскладывается кубический многочлен с одним вещественным корнем на множители? Если нет, тогда остаётся только матанализ, наверно.

[ewert]

Gagarin1968 в сообщении #1034477 писал(а):

Доказать, что уравнение с действительными коэффициентами $x^3+ax^2-b=0$ ($b>0$) имеет один и только один положительный корень.

В нуле левая часть отрицательна, на плюс бесконечности -- положительна. А между нулём и плюс бесконечностью может быть не более одного экстремума, и тогда уж даже не важно, какого (хотя и ясно, какого, если может).

(про виетов -- тоже не исключено, что способно помочь; но не более чем издевательски)

[grizzly]

ewert в сообщении #1034524 писал(а):

(про виетов -- тоже не исключено, что способно помочь; но не более чем издевательски)

А почему издевательски? Вроде как и не сложнее и не длиннее. Нужно знать простейший факт из алгебры? -- так ведь он не сложнее теоремы о промежуточном значении. Так что позвольте не согласиться. Тем более, что ТС дал понять, что хотел бы алгебраическим путём, а не анализом.

А что мы подсказки и наводящие вопросы давали вместо готового простого решения -- так ведь это только в угоду правилам.

[StaticZero]

ewert в сообщении #1034524 писал(а):

но не более чем издевательски

Непосредственно прямым образом и помогает.

[sergei1961]

А почему производная положительная, ведь знак a не задан?

[Евгений Машеров]

Есть такое слово - монотонность...

[ewert]

sergei1961 в сообщении #1034616 писал(а):

А почему производная положительная, ведь знак a не задан?

Лично я -- не знаю, почему. И не хочу знать. Знаю твёрдо лишь другое: что у кубического многочлена может быть не более двух точек экстремума. И если одна из двух возможных жёстко зафиксирована, то другая, если справа от первой, не может быть ничем, кроме точки минимума. Этого достаточно.

[Gagarin1968]

Кажется, я дотумкал. Не нужно никакого матанализа.
Просто воспользовался советом уважаемого grizzly и проанализировал условия Виета.
Если предположить, что все три корня вещественны, то из условия $x_1x_2x_3=b>0$ следует наличие хотя бы одного положительного корня. Т.о. вариант, при котором положительных корней нет, отпадает.
Дальше. Если бы положительными оказались два корня, то из этой же формулы следует, что и третий корень положителен, а это противоречит первому условию Виета: $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=0$. А это значит, что в случае трёх вещественных корней положительным может быть один и только один из них . Доказано.
А вот в случае комплексного корня пока затыка. Иду думать. Если есть какие-то мысли, вспоможите, граждане.