2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Корень кубического уравнения
Сообщение07.07.2015, 23:15 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
Доброй ночи!
У меня затруднение.
Доказать, что уравнение с действительными коэффициентами $x^3+ax^2-b=0$ ($b>0$) имеет один и только один положительный корень.
Вроде бы несложная задача. Пусть $x_1, x_2, x_3$ - корни уравнения. Применим формулы Виета:
$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=0$,
$x_1x_2x_3=b>0$.
А вот тут затыка. Как мне разграничить случаи, если все три корня вещественны и если вещественный только один и два комплексных. Как быть?
Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень кубического уравнения
Сообщение07.07.2015, 23:17 


10/02/11
6786
воспользуйтесь матанализом $x^3+ax^2=b$

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень кубического уравнения
Сообщение07.07.2015, 23:26 


19/05/10

3940
Россия
Сложно будет это доказать

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень кубического уравнения
Сообщение07.07.2015, 23:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Скорее всего этим путём никак. Пусть, например, $x_2$ и $x_3$ — комплексные корни. Они сопряжённые. Значит, их произведение вещественно и сумма тоже вещественна, и этим они ничем не отличаются от любых двух действительных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень кубического уравнения
Сообщение07.07.2015, 23:30 


19/05/10

3940
Россия
Не прочитал, что корень то положительный, ошибся.
Проще всего, наверно как Oleg Zubelevich написал

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень кубического уравнения
Сообщение07.07.2015, 23:36 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
mihailm в сообщении #1034486 писал(а):
Сложно будет это доказать

StaticZero в сообщении #1034487 писал(а):
Скорее всего этим путём никак.

Печально. Но задание мне нужно сделать, кровь из носу. Иду думать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень кубического уравнения
Сообщение07.07.2015, 23:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Извлеките максимум информации из соотношения $x_1x_2x_3 > 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень кубического уравнения
Сообщение08.07.2015, 00:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Gagarin1968 в сообщении #1034477 писал(а):
Как мне разграничить случаи, если все три корня вещественны и если вещественный только один и два комплексных.

А зачем? Просто подумайте последовательно, как из написанных Вами соотношений ответить на вопросы:
может ли не быть положительного корня?
может ли их быть ровно 2?
может ли их быть ровно 3?

Когда найдёте простые ответы на эти вопросы, останется только ответ на задачу.

Кстати, Вы знаете, чему равно произведение комплексно-сопряжённых чисел? или как раскладывается кубический многочлен с одним вещественным корнем на множители? Если нет, тогда остаётся только матанализ, наверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень кубического уравнения
Сообщение08.07.2015, 00:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Gagarin1968 в сообщении #1034477 писал(а):
Доказать, что уравнение с действительными коэффициентами $x^3+ax^2-b=0$ ($b>0$) имеет один и только один положительный корень.

В нуле левая часть отрицательна, на плюс бесконечности -- положительна. А между нулём и плюс бесконечностью может быть не более одного экстремума, и тогда уж даже не важно, какого (хотя и ясно, какого, если может).

(про виетов -- тоже не исключено, что способно помочь; но не более чем издевательски)

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень кубического уравнения
Сообщение08.07.2015, 00:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
ewert в сообщении #1034524 писал(а):
(про виетов -- тоже не исключено, что способно помочь; но не более чем издевательски)

А почему издевательски? Вроде как и не сложнее и не длиннее. Нужно знать простейший факт из алгебры? -- так ведь он не сложнее теоремы о промежуточном значении. Так что позвольте не согласиться. Тем более, что ТС дал понять, что хотел бы алгебраическим путём, а не анализом.

А что мы подсказки и наводящие вопросы давали вместо готового простого решения -- так ведь это только в угоду правилам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень кубического уравнения
Сообщение08.07.2015, 01:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
ewert в сообщении #1034524 писал(а):
но не более чем издевательски


Непосредственно прямым образом и помогает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень кубического уравнения
Сообщение08.07.2015, 11:46 


25/08/11

1074
А почему производная положительная, ведь знак a не задан?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень кубического уравнения
Сообщение08.07.2015, 11:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9493
Москва
Есть такое слово - монотонность...

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень кубического уравнения
Сообщение08.07.2015, 22:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
sergei1961 в сообщении #1034616 писал(а):
А почему производная положительная, ведь знак a не задан?

Лично я -- не знаю, почему. И не хочу знать. Знаю твёрдо лишь другое: что у кубического многочлена может быть не более двух точек экстремума. И если одна из двух возможных жёстко зафиксирована, то другая, если справа от первой, не может быть ничем, кроме точки минимума. Этого достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень кубического уравнения
Сообщение09.07.2015, 06:37 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
Кажется, я дотумкал. Не нужно никакого матанализа.
Просто воспользовался советом уважаемого grizzly и проанализировал условия Виета.
Если предположить, что все три корня вещественны, то из условия $x_1x_2x_3=b>0$ следует наличие хотя бы одного положительного корня. Т.о. вариант, при котором положительных корней нет, отпадает.
Дальше. Если бы положительными оказались два корня, то из этой же формулы следует, что и третий корень положителен, а это противоречит первому условию Виета: $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=0$. А это значит, что в случае трёх вещественных корней положительным может быть один и только один из них . Доказано.
А вот в случае комплексного корня пока затыка. Иду думать. Если есть какие-то мысли, вспоможите, граждане.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group