Функциональное уравнение

[RLVV]

Всем добрый день.Никак не могу подступится к этой задачи.Не Знаю с чего начать.Может у вас получится?
Найдите все дифференцируемые в точке $x_0=0$ функции $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$
для которого $f(ax+b\arctg{x})+f(ax-b\arctg{x})=f((a+b)x)$.Источник-румынский журнал -ОCТOGON.

[iifat]

Ну, для начало положим $b=0$...

-- 09.07.2015, 21:32 --

Или $a,b$ — некие константы?

[mihiv]

Очевидно $f(0)=0.$ Найдем производную левой и правой частей уравнения при $x=0$. Получим:$2af'(0)=(a+b)f'(0)$. Предполагая $f'(0)\ne 0$, находим $a=b$. Таким образом, при $f'(0)\ne 0$ решение существует лишь при $a=b$. Решением уравнения при этом условии являются, например, функции $f(x)=kx$, где $k$ -произвольное действительное число не равное 0. Если же $a\ne b$, то решением является, например функция $f(x)\equiv 0$.
Вполне может быть, что это не все возможные решения.

[iancaple]

Меня по-прежнему терзают сомнения по поводу ценности этого уравнения, что показывает такой частный случай. Пусть, действительно, $a=0,\;b>0,\;f'(0)=0$ и ищем только четные функции. Уравнение $2f(b\arctg x)=f(bx),\;x>0$ показывает, что значения функции при больших значениях аргумента $x\geq \dfrac{b\pi}{2}$ вообще можно взять какими угодно. Все же возьмем произвольную ограниченную функцию на [$x_0,+\infty$) ,$x_0=\dfrac{b\pi}{2}$, $|f(x)|\leq M$, определим последовательность точек деления $x_{n+1}=b\arctg\frac{x_n}{b}$, находим из уравнения значения функции на полуинтервале [$x_1,x_0$), потом на следующем, так $f$ определена однозначно при всех $x>0$, Полагаем $f(0)=0$, далее по четности, производная в 0 будет существовать и равна 0 (можно доказать... В частности $|f(x_n)|\leq 2^{-n}M$)
Отказавшись от требования четности, можно усложнить построение и описать все решения этого функ. уравнения при $a=0$