2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Присоединенное представление
Сообщение07.07.2015, 19:18 


07/07/15
228
Как правильно определяется присоединенное представление алгебры Ли?
В книжке по физике элементарных частиц авторы определили его довольно непонятно: вот есть у нас группа Ли $G$, генераторы которой удовлетворяют коммутационным соотношениям:

$[T_{a},T_{b}]=iC_{ab}^{c}T_{c}$

и по определению образуют алгебру $A(G)$ рассматриваемой группы.

Теперь утверждается, что структурные константы также порождают представление алгебры, которое и называется присоединенным. Мне не понятно, как именно это происходит?
И еще вопрос: какие есть хорошие книжки по теории групп Ли, в которых изящно вводятся все определения и понятия и при этом хорошо объясняются технические аспекты? Идеально было бы с задачами, но не критично, т.к.в интернете много задачников.

 Профиль  
                  
 
 Re: Присоединенное представление
Сообщение07.07.2015, 19:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Для каждого элемента $x$ алгебры Ли $L$ можно определить линейный оператор $\mathop{\mathrm{ad}}_x\colon L\to L$, который просто умножает на $x$, т.е. $\mathop{\mathrm{ad}}_x(y) = [x, y]$. Оказывается, что это представление алгебры, оно называется присоединенным. Если взять какой-то базис $T_a$, то матрицы, соответствующие элементам базиса в присоединенном представлении, состоят как из структурных констант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Присоединенное представление
Сообщение07.07.2015, 19:58 


07/07/15
228
Xaositect
Спасибо за ответ!
В вашем ответе содержится 3 предложения. Каждое из них я понял, а вот как они связаны - нет. Вот Вы определили оператор $ad_{X}(Y)$, который определяется как коммутатор $[X,Y]$ (не понял, причем тут умножение на число?). Дальше Вы говорите, что это тоже представление алгебры. Под это Вы имеете ввиду множество всех операторов такого вида?
Теперь супер глупый вопрос. Я первом посте я ввел обозначение алгебры $A(G)$, которую образуют генераторы $G$. Правильно ли говорить, что присоединенное представление - это представление некоторой другой алгебры $A'$, которую можно назвать присоединенной алгеброй к $A(G)$? Для меня это очень важный вопрос, т.к.он является одним из ключевых при построении теории сильных взаимодействий. Заранее извиняюсь за возможную математическую некорректность.
И насчет последнего предложения могли бы расписать поподробнее по формулам или подскажите, где можно почитать? А то в физической книжке это все очень небрежно написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Присоединенное представление
Сообщение07.07.2015, 20:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Blancke_K в сообщении #1034414 писал(а):
(не понял, причем тут умножение на число?)
Я просто привык операцию в любой алгебре называть умножением, включая коммутаторв алгебре Ли. Не обращайте внимания.

Как у Вас определяется, что такое представление?

 Профиль  
                  
 
 Re: Присоединенное представление
Сообщение07.07.2015, 20:14 


07/07/15
228
Xaositect
А вот тут у меня проблема. Я понимаю, что такое представление группы, но представление алгебры - нет. А в книжке это понятие никак не определяется, но используется (а есть ли вообще такая штука?)
Ну а представление группы - это отображение на множество линейных операторов, я другого определения не видел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Присоединенное представление
Сообщение07.07.2015, 21:48 


07/07/15
228
Xaositect
Я понял, что представление алгебры Ли - это все-таки понятие вполне разумное и определяется аналогично представлению группы.
Но вот является ли основное и присоединенное представление представлением одной и той же алгебры Ли или разных, не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Присоединенное представление
Сообщение08.07.2015, 11:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Blancke_K в сообщении #1034456 писал(а):
Но вот является ли основное и присоединенное представление представлением одной и той же алгебры Ли или разных, не понимаю.
Что Вы называете основным представлением?

 Профиль  
                  
 
 Re: Присоединенное представление
Сообщение08.07.2015, 12:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Blancke_K в сообщении #1034401 писал(а):
Как правильно определяется присоединенное представление алгебры Ли?
В книжке по физике элементарных частиц авторы определили его довольно непонятно

Рубакова читали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Присоединенное представлени
Сообщение08.07.2015, 17:21 


07/07/15
228
Да, читал. Я вроде как разобрался, в Ченге-Ли немного на другом языке написано, поэтому сразу не распознал.
Алгебра Ли $A(G)$ - это ведь просто линейное пространство, касательное к нулевому элементу группы Ли $G$. А представление алгебры $A(G)$ - это просто некоторый гомоморфизм на множество линейных операторов. Понятное дело, что такой гомоморфизм отнюдь не единственный; указанный Xaositect оператор $ad_{X}(Y)$ образует одно из возможных представлений нашей алгебры $A(G)$, т.к. отображение $A(G) \rightarrow ad_{X}(Y)$ является гомоморфизмом. Никаких других "присоединенных" алгебр здесь нету, это глупость мне в голову пришла какая-то. Связь этого представления со структурными константами заключается в то, что матрицы оператора $ad_{X}(Y)$ определяются структурными константами коммутатора $[X,Y]$. А особенность этого представления в том, что действует оно на самой $A(G)$ как на линейном пространстве, а не на каком-то другом пространстве $V$.
Наверное, коряво, но вроде я разобрался?

 Профиль  
                  
 
 Re: Присоединенное представление
Сообщение08.07.2015, 22:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Blancke_K в сообщении #1034712 писал(а):
Наверное, коряво, но вроде я разобрался?

Да. Последнее сообщение я полностью одобряю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group