Присоединенное представление

[Blancke_K]

Как правильно определяется присоединенное представление алгебры Ли?
В книжке по физике элементарных частиц авторы определили его довольно непонятно: вот есть у нас группа Ли $G$, генераторы которой удовлетворяют коммутационным соотношениям:

$[T_{a},T_{b}]=iC_{ab}^{c}T_{c}$

и по определению образуют алгебру $A(G)$ рассматриваемой группы.

Теперь утверждается, что структурные константы также порождают представление алгебры, которое и называется присоединенным. Мне не понятно, как именно это происходит?
И еще вопрос: какие есть хорошие книжки по теории групп Ли, в которых изящно вводятся все определения и понятия и при этом хорошо объясняются технические аспекты? Идеально было бы с задачами, но не критично, т.к.в интернете много задачников.

[Xaositect]

Для каждого элемента $x$ алгебры Ли $L$ можно определить линейный оператор $\mathop{\mathrm{ad}}_x\colon L\to L$, который просто умножает на $x$, т.е. $\mathop{\mathrm{ad}}_x(y) = [x, y]$. Оказывается, что это представление алгебры, оно называется присоединенным. Если взять какой-то базис $T_a$, то матрицы, соответствующие элементам базиса в присоединенном представлении, состоят как из структурных констант.

[Blancke_K]

Xaositect
Спасибо за ответ!
В вашем ответе содержится 3 предложения. Каждое из них я понял, а вот как они связаны - нет. Вот Вы определили оператор $ad_{X}(Y)$, который определяется как коммутатор $[X,Y]$ (не понял, причем тут умножение на число?). Дальше Вы говорите, что это тоже представление алгебры. Под это Вы имеете ввиду множество всех операторов такого вида?
Теперь супер глупый вопрос. Я первом посте я ввел обозначение алгебры $A(G)$, которую образуют генераторы $G$. Правильно ли говорить, что присоединенное представление - это представление некоторой другой алгебры $A'$, которую можно назвать присоединенной алгеброй к $A(G)$? Для меня это очень важный вопрос, т.к.он является одним из ключевых при построении теории сильных взаимодействий. Заранее извиняюсь за возможную математическую некорректность.
И насчет последнего предложения могли бы расписать поподробнее по формулам или подскажите, где можно почитать? А то в физической книжке это все очень небрежно написано.

[Xaositect]

Blancke_K в сообщении #1034414 писал(а):

(не понял, причем тут умножение на число?)

Я просто привык операцию в любой алгебре называть умножением, включая коммутаторв алгебре Ли. Не обращайте внимания.

Как у Вас определяется, что такое представление?

[Blancke_K]

Xaositect
А вот тут у меня проблема. Я понимаю, что такое представление группы, но представление алгебры - нет. А в книжке это понятие никак не определяется, но используется (а есть ли вообще такая штука?)
Ну а представление группы - это отображение на множество линейных операторов, я другого определения не видел.

[Blancke_K]

Xaositect
Я понял, что представление алгебры Ли - это все-таки понятие вполне разумное и определяется аналогично представлению группы.
Но вот является ли основное и присоединенное представление представлением одной и той же алгебры Ли или разных, не понимаю.

[Xaositect]

Blancke_K в сообщении #1034456 писал(а):

Но вот является ли основное и присоединенное представление представлением одной и той же алгебры Ли или разных, не понимаю.

Что Вы называете основным представлением?

[Munin]

Blancke_K в сообщении #1034401 писал(а):

Как правильно определяется присоединенное представление алгебры Ли?
В книжке по физике элементарных частиц авторы определили его довольно непонятно

Рубакова читали?

[Blancke_K]

Да, читал. Я вроде как разобрался, в Ченге-Ли немного на другом языке написано, поэтому сразу не распознал.
Алгебра Ли $A(G)$ - это ведь просто линейное пространство, касательное к нулевому элементу группы Ли $G$. А представление алгебры $A(G)$ - это просто некоторый гомоморфизм на множество линейных операторов. Понятное дело, что такой гомоморфизм отнюдь не единственный; указанный Xaositect оператор $ad_{X}(Y)$ образует одно из возможных представлений нашей алгебры $A(G)$, т.к. отображение $A(G) \rightarrow ad_{X}(Y)$ является гомоморфизмом. Никаких других "присоединенных" алгебр здесь нету, это глупость мне в голову пришла какая-то. Связь этого представления со структурными константами заключается в то, что матрицы оператора $ad_{X}(Y)$ определяются структурными константами коммутатора $[X,Y]$. А особенность этого представления в том, что действует оно на самой $A(G)$ как на линейном пространстве, а не на каком-то другом пространстве $V$.
Наверное, коряво, но вроде я разобрался?

[Munin]

Blancke_K в сообщении #1034712 писал(а):

Наверное, коряво, но вроде я разобрался?

Да. Последнее сообщение я полностью одобряю.