Школьные олимпиадные задачи.

[ole-ole-ole]

Здравствуйте! Есть пять задач, которые не получается решить, возникли вопросы.

1. Даны полоска $1 × 1000$ и $n$ фишек. Два игрока ходят по очереди. Первый своим ходом может взять не более $17$ фишек (как из кучи, так и с клеток полоски) и поставить их на любые свободные клетки. Второй своим ходом может снять любое количество стоящих подряд фишек, и положить их обратно в кучу. Первый игрок выигрывает, если поставит все $n$ фишек в ряд без пробелов. Докажите, что если а) $n\le 89$; б) $n\le 98$, то первый игрок сможет выиграть. Докажите, что если в) $n > 324$; г) $n > 305$; д) $n > 98$, то второй игрок может помешать первому выиграть.

2. Найдите все целые числа такие, что $7x^2 + 11 = 15y^2$

3. Изначально на столе лежит куча из 2008 спичек. За ход можно выкинуть из какой-либо кучки 1 спичку, после чего разделить одну из кучек на две. Выкидывать из кучки последнюю спичку нельзя. Могут ли через несколько ходов на столе остаться только несколько кучек из 3 спичек каждая?

4. Натуральные числа x и y таковы, что сумма дробей $\dfrac{x^2-1}{y+1}+\dfrac{y^2-1}{x+1}$ — целое число. Докажите, что каждая из этих двух дробей есть целое число.

5. Даны $17$ натуральных чисел $a_1, a_2, . . . , a_{17}$. Известно, что $a_1^{a_2} = a_2^{a_3} =a_3^{a_4} =... = a_{17}^{a_2}$ . Докажите, что $a_1=a_2=...=a_{17}$

2) Насчет второй задачи. Есть такие наброски: Если $y$ достаточно велико, то $x>y$. Квадрат целого числа может оканчиваться на $0,1,4,6,9$.
Тогда $7x^2$ может оканчиваться на $0, 7, 8, 2, 3$, тогда $7x^2+11$ может оканчиваться на $1,8,9,3,4$. Ясно, что $y^2$ может оканчиваться на $0,1,4,6,9$.
Пересечением последних двух множеств являются элементы $1,4,9$. Это значит, что $y^2$ будет заканчиваться $1,4,9$, при этом $x^2$ будет оканчиваться на $0,4,9$.
Пока что только так удалось сузить область поиска. Но как дальше?

4) $\dfrac{x^2-1}{y+1}+\dfrac{y^2-1}{x+1}=\dfrac{(x^2-1)(x+1)+(y^2-1)(y+1)}{(y+1)(x+1)}$

Нам дано, что $\dfrac{x^2-1}{y+1}+\dfrac{y^2-1}{x+1}=k$, где $k\in\mathbb{Z}$. Попробуем от противного. Пусть это не так. Тогда каждое из чисел $a=\dfrac{x^2-1}{y+1}$ и $b=\dfrac{y^2-1}{x+1}$ есть нецелые числа (только одно из них не может быть нецелым, потому как тогда сумма целого и нецелого будет нецелой, то противоречит условию). Как я понимаю, что $a$ и $b$ не могут быть иррациональными.
Предположим, что они рациональны. Значит они представимы в виде несократимых дробей $a=\dfrac{p}{q}$, $b=\dfrac{n}{m}$, где $q\ne 1$, $m\ne 1$.

$\dfrac{x^2-1}{y+1}=\dfrac{p}{q}$, $\dfrac{y^2-1}{x+1}=\dfrac{n}{m}$. При этом $\dfrac{pm+nq}{mq}=k\in\mathbb{Z}$

Заметим что в обоих выражениях есть взаимнообратные множители $\dfrac{x+1}{y+1}$ и $\dfrac{y+1}{x+1}$. Пока что на этом идеи у меня закончились в этой задаче.

5) Пытался доказывать от противного, не удалось дойти до противоречия.

1), 3) Пока что идей нет, но как появятся, обязательно напишу!

[grizzly]

ole-ole-ole в сообщении #1034471 писал(а):

Квадрат целого числа может оканчиваться на $0,1,4,6,9$.

А на 5?

ole-ole-ole в сообщении #1034471 писал(а):

Ясно, что $y^2$ может оканчиваться на $0,1,4,6,9$.

А $15y^2$?

А дальше мне лень бегать прокруткой по нескольким экранам с Вашими пятью задачами и с некоторыми попытками решения. Если хотите обсуждать эффективно, создавайте отдельно тему для каждой задачи. Как показывает опыт, иначе ничего хорошего всё равно не выйдет.

[Deggial]

ole-ole-ole, создайте для каждой задачи отдельную тему с попытками решения. Копипаст Вам поможет.
Эта тема закрыта.