2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Убегаем от нуля, слабо к нему прикасаясь
Сообщение05.05.2015, 16:56 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Рассмотрим классическое банахово пространство $\ell^p=\{x\in\mathbb R^{\mathbb N}:\|x\|_p<\infty\}$,
где $\|x\|_p=\bigl(\sum_{n=1}^\infty|x(n)|^p\bigr)^{\frac1p}$, $1<p<\infty$.

Для каких $\alpha\in(\mathbb R\backslash\{0\})^{\mathbb N}$ слабое замыкание $\{\alpha(n)\bold e_n:n\in\mathbb N\}$ в $\ell^p$ содержит ноль?
В частности, есть ли среди таких последовательностей $\alpha$ стремящиеся к бесконечности?

P.S. Здесь $\bold e_n=\chi_{\{n\}}=(0,\dots,0,\!\!\underset{(n)}1\!\!,0,\dots)\in\ell^p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Убегаем от нуля, слабо к нему прикасаясь
Сообщение03.07.2015, 21:53 


26/09/14
31
Подходят все $\alpha$, из которых можно выделить ограниченную подпоследовательность.

Пусть $\alpha(n_k)$ — ограниченная подпоследовательность, тогда $\sup \limits_k \| \alpha(n_k) \bold e_{n_k} \|_p = \sup \limits_k | \alpha(n_k) | < \infty$. Понятно также, что $\alpha(n_k) \bold e_{n_k}$ сходится к нулю покоординатно. А слабая сходимость последовательности в $\ell^p$ равносильна ограниченности и покоординатной сходимости, поэтому $\alpha(n_k) \bold e_{n_k} \to 0$ слабо.

Правда, это еще не ответ на вопрос задачи. Подозреваю, что при некоторых условиях будут сходящиеся к нулю сети, хотя сходящихся последовательностей не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Убегаем от нуля, слабо к нему прикасаясь
Сообщение07.07.2015, 11:52 
Заслуженный участник


18/01/12
933
AGu в сообщении #1011486 писал(а):
Для каких $\alpha\in(\mathbb R\backslash\{0\})^{\mathbb N}$ слабое замыкание $\{\alpha(n)\bold e_n:n\in\mathbb N\}$ в $\ell^p$ содержит ноль?
Ответ: при условии $\sum\limits_{n=1}^\infty|\alpha (n)|^{\frac p{1-p}}=\infty.$


AGu в сообщении #1011486 писал(а):
В частности, есть ли среди таких последовательностей $\alpha$ стремящиеся к бесконечности?
Есть. Например: $\alpha (n)=n^{1-\frac 1p}.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group