Размерности в физике

[iifat]

Pphantom:

Выделил в отдельную тему.

Munin в сообщении #1033505 писал(а):

считают, что систему размерностей можно подогнать

Подогнать, но не под всё же, не? В частности, судя по Википедии, масса в системе СГС имеет размерность таки массы. То бишь, в законе Кулона коэффициент, да, уходит, в законе притяжения Ньютона что-то размерное остаётся. Так что менять массу на заряд всё же нельзя уже по этой причине (не считая множества других).

[Munin]

iifat в сообщении #1033606 писал(а):

Подогнать, но не под всё же, не?

Вообще, система размерностей - штука достаточно гибкая, чтобы её подогнать можно было практически подо всё. Тут читать, конечно, надо не Википедию, а книжки, но всё достаточно просто.

Подход к системе размерностей сложился исторически, и примерно к концу 19 - началу 20 века все системы размерностей следовали одному образцу. Но это не значит, что только такой образец в принципе возможен. И в середине 20 века теоретическая физика уже отошла от этого стандарта - впрочем, не нарушая его, а просто проводя выкладки в обобщённом и/или упрощённом варианте.

Точно так же, как систему СГС можно обозначить как систему $k=1,$ существует и гравитационная система единиц $G=1,$ применяемая в астрономии и в теории гравитации (СГС создавалась для тех областей науки и техники, где гравитация играет не главную роль). Эти соотношения можно скомбинировать - при условии, что теоретик будет достаточно осторожен, и никогда не подставит массу в формулу вместо электрического заряда. Также в теоретической физике используются системы единиц с соотношениями $c=1,\hbar=1,k_\mathrm{B}=1,m_e=1,m_p=1,$ и в разных комбинациях. Кроме того, можно построить и немультипликативные системы единиц.

Если хотите, об этом можно поговорить отдельно, но надо завести новую тему.

[arseniiv]

Про немультипликативные было бы интересно.

Тут, да, можно добавить, что система размерностей — как система типов в языке программирования. Прямые аналогии: типы всегда можно повыкидывать; типы предотвращают много дурацких ошибок, но «высокоуровневые» — когда как (зависит от ошибки и языка). Хорошая система типов позволяет больше скучных вещей взвалить на компилятор — и, в принципе, размерности могли бы так же, но они обычно проще, и сейчас не вижу, куда и для каких дел там автоматизацию можно прикрутить. (Проверка статей? Но если изложение размерно некорректно, это можно увидеть просто невооружённым глазом по зияющим дырам в смысле, и никакой автовалидатор не нужен.)

Размерности, в принципе, и есть типы. Можно представить какую-нибудь формальную систему с утверждениями вида $\text{терм}\colon\text{размерность}$ и правилами вывода каких-то таких:

$$\frac{a_1\colon D_1\quad a_2\colon D_2}{a_1a_2\colon D_1D_2},\quad\frac{a_1\colon D\quad a_2\colon D}{a_1+a_2\colon D},\quad\frac{a\colon 1}{\sin a\colon1},\quad\ldots$$

[Munin]

arseniiv в сообщении #1033712 писал(а):

Про немультипликативные было бы интересно. :-)

Это же мы с вами уже обсуждали. Формулу $a=bc$ можно с равным успехом записать и как $\ln a=\ln b+\ln c.$

arseniiv в сообщении #1033712 писал(а):

Тут, да, можно добавить, что система размерностей — как система типов в языке программирования.

Если я этого и не произносил вслух, то имел в виду :-)

[iifat]

Munin в сообщении #1033647 писал(а):

Эти соотношения можно скомбинировать - при условии, что теоретик будет достаточно осторожен, и никогда не подставит массу в формулу вместо электрического заряда

Силюсь себе представить — и никак. Это что, в такой комбинированной системе масса и заряд и правда будут измеряться в одинаковых единицах? Ладно подстановки в формулах, но ведь и просто сложить $1+1$ в такой системе не получится!

Munin в сообщении #1033647 писал(а):

$m_e=1,m_p=1$

А кто все эти буквы? Масса электрона, масса протона, не? И что, они обе разом в некой комбинированной системе будут равны единице?

Munin в сообщении #1033873 писал(а):

Формулу $a=bc$ можно с равным успехом записать и как $\ln a=\ln b+\ln c.$

Хм. А размерности-то тут где просматриваются? Что-то вроде децибел (освежил в памяти, схлестнулись мы тут в ЖЖ с человеком по поводу допустимости сложения процента с числом): безразмерная единица, обозначающая просто тот факт, что мы взяли две, согласно Википедии, «энергетические» либо «силовые» величины, поделили одну на другую, прологарифмировали и умножили на $10$. Один децибел плюс один децибел будет два в том только случае, если в двух парах одна из величин совпадает (да притом в одной паре идёт в знаменатель, в другой — в числитель).

[arseniiv]

iifat в сообщении #1034105 писал(а):

Ладно подстановки в формулах, но ведь и просто сложить $1+1$ в такой системе не получится!

Почему? Вот возьмём вырожденную систему размерностей, где все величины размерности $1$, т. е. безразмерные. Сумма любых таких величин размерно корректна. А безразмерные $1+1$ мы можем найти в любой системе размерностей. Видимо, я не понял, о чём речь.

[iifat]

arseniiv в сообщении #1034120 писал(а):

Видимо, я не понял, о чём речь

Ну, кто-то из нас точно не понял, не возьмусь судить, кто именно. Как по мне, не стОит складывать столы со стульями, даже если мы перешли к безразмерным единицам. Ну, положим, к примеру, скомбинировали мы упомянутые Munin системы единиц $k=1$ и $G=1$. Получили, что масса и заряд измеряются в одинаковых единицах $mf^{\frac12}$. Складывая единицу (массы) с единицей (заряда) получим две — чего? Понятно, впрочем, чего — две этих самых нововведённых единицы. Вот только смысл — ы? То есть, от систем, не позволяющих сложить массу с зарядом по причине разных размерностей мы пришли к системе, где эта причина отсутствует. Но ведь складывать массу с зарядом-то по-прежнему нельзя!

[arseniiv]

iifat в сообщении #1034123 писал(а):

Как по мне, не стОит складывать столы со стульями, даже если мы перешли к безразмерным единицам.

А, ну так это да. А кто говорит, что стоит?

iifat в сообщении #1034123 писал(а):

Вот только смысл — ы?

Смысл-то будет — сумма массы с зарядом. Причём из-за того что мы их свели вместе, используя только фундмаентальные константы, а масса и заряд инвариантны, эта величина будет вполне себе хорошая. А то, что она никуда не входит… стоп, как это не входит? Если от неё отнять массу, получим заряд, так что она входит в эквиваленты формул, в которые входят масса и заряд. Другое дело, что сумму массы с зарядом, в основном, получится вычислить только после массы и зарада, а не как-то в обход.

[Munin]

iifat в сообщении #1034105 писал(а):

Силюсь себе представить — и никак. Это что, в такой комбинированной системе масса и заряд и правда будут измеряться в одинаковых единицах? Ладно подстановки в формулах, но ведь и просто сложить $1+1$ в такой системе не получится!

Смотря, что у вас за $1+1$ будет. Если это два заряда - то складывайте на здоровье. Если заряд и масса - то не складывайте. Всего-то и делов: можно то, что можно, надо только немного подумать.

iifat в сообщении #1034105 писал(а):

А кто все эти буквы? Масса электрона, масса протона, не? И что, они обе разом в некой комбинированной системе будут равны единице?

Нет, эти две - по отдельности :-) И при этом, они не могут быть приравнены единице в системе $c=\hbar=G=1$ (планковской, в ней $m_\mathrm{Pl}=1$). Но есть системы, в которых и одна масса единичная (атомная и ядерная системы единиц), и другая - просто это разные системы, их не надо путать, и надо аккуратно переводить числа из одной в другую.

iifat в сообщении #1034105 писал(а):

Хм. А размерности-то тут где просматриваются?

Ну, с другими буквами: $F=ma\quad\Longleftrightarrow\quad\ln F=\ln m+\ln a.$ Теперь достаточно видно? :-)

[Denis Russkih]

Munin в сообщении #1034218 писал(а):

надо аккуратно переводить числа из одной в другую

Хм, а в чём вообще польза от всех этих заморочек с разными системами размерностей, если не секрет? :) Формулы, конечно, получаются намного красивее и короче... Но ведь с другой стороны:
- нужно помнить кучу разных систем и правила перевода из одной в другую;
- нужно помнить, что с чем можно складывать, а что с чем нельзя (несмотря даже на одинаковые размерности);
- возрастает вероятность появления трудно вылавливаемых ошибок в выкладках;
- возрастает вероятность неправильного понимания чужих выкладок (в частности, труднее правильно воспринимать информацию из учебников).

Неужели всё это только ради того, чтобы записать формулы покороче?.. :)

Не хочу сказать ничего плохого, но ведь это примерно как пользоваться 1000-ричной системой счисления вместо десятичной, просто чтобы сделать запись чисел чуточку компактнее. :) "Да, пришлось придумать и выучить 1000 разных цифр, зато теперь можно записывать все числа втрое короче!.." — вот так примерно выглядят все эти танцы с разными системами размерностей, если посмотреть со стороны глазами дилетанта, т.е. моими. :)

Меня, конечно, в своё время сильно впечатлило, насколько красивее становятся формулы, если принять некоторые величины равными единице. Но неужели всё это придумано просто ради красоты?.. "Для бешеной собаки семь вёрст — не крюк"? :) Или вся эта пугающая красота действительно каким-то образом облегчает работу физикам, т.е. без зоопарка разных систем размерностей всё было бы ещё хуже?..

[arseniiv]

Denis Russkih в сообщении #1034232 писал(а):

- нужно помнить, что с чем можно складывать, а что с чем нельзя (несмотря даже на одинаковые размерности);

Это выполняется автоматически, если вы знаете, с чем работаете. Много ли размерностей и какие — всё равно надо знать.

Denis Russkih в сообщении #1034232 писал(а):

- возрастает вероятность появления трудно вылавливаемых ошибок в выкладках;
- возрастает вероятность неправильного понимания чужих выкладок (в частности, труднее правильно воспринимать информацию из учебников).

Не факт. Таща кучу коэффициентов из формулы в формулу, ошибиться тоже реально.

Denis Russkih в сообщении #1034232 писал(а):

вот так примерно выглядят все эти танцы с разными системами размерностей, если посмотреть со стороны глазами дилетанта, т.е. моими. :)

Уж не считаете ли вы, что это должно что-то значить? Уж извините, мнение дилетанта по определению может быть как угодно далеко от точности описания.

Denis Russkih в сообщении #1034232 писал(а):

т.е. без зоопарка разных систем размерностей всё было бы ещё хуже?..

Заметьте, что «зоопарк» вы придумали сами. (И см. выше «кучу разных систем» — ещё одно повторение и в вашей фиксации на этом не осталось бы сомнений — что вообще странно, т. к. вы до сих пор особых следов возни с формулами не показывали.) Многие системы единиц специфичны для отдельных разделов, так что по многу обычно никому знать не надо.

(Оффтоп)

Кстати, вы ещё музыкантам предложите пользоваться одними, скажем, аккордеонами. (А что? И носить нетрудно, в отличие от роялей-контрабасов, и кнопочек много — чего ещё надо?)

Denis Russkih в сообщении #1034232 писал(а):

Не хочу сказать ничего плохого

Незаметно. Некоторые неуместно раздувают тему обсуждения хотя бы меньшим количеством букв.

[Denis Russkih]

arseniiv в сообщении #1034235 писал(а):

Кстати, вы ещё музыкантам предложите пользоваться одними, скажем, аккордеонами. (А что? И носить нетрудно, в отличие от роялей-контрабасов, и кнопочек много — чего ещё надо?)

Здорово Вы меня уели. :) Вопросов больше не имею. Действительно, я сказал глупость.

[Munin]

Denis Russkih в сообщении #1034232 писал(а):

Хм, а в чём вообще польза от всех этих заморочек с разными системами размерностей, если не секрет? :) Формулы, конечно, получаются намного красивее и короче... Но ведь с другой стороны:
- нужно помнить кучу разных систем и правила перевода из одной в другую;

Не нужно. Обычно вы работаете в одной системе. Удобной вам. Когда нужна другая - формулы перевода можно посмотреть в справочнике.

Denis Russkih в сообщении #1034232 писал(а):

- нужно помнить, что с чем можно складывать, а что с чем нельзя (несмотря даже на одинаковые размерности);

Это нужно помнить само по себе, несмотря ни на какие размерности. И даже не помнить, а понимать, и очень хорошо понимать. Это, по сути, вся физика.

Denis Russkih в сообщении #1034232 писал(а):

- возрастает вероятность появления трудно вылавливаемых ошибок в выкладках;

Не-а.

Настоящие ошибки возникают не из-за этого. А ошибаться в переводе систем единиц перестаёт каждый, кто вырастает из ползунков.

Denis Russkih в сообщении #1034232 писал(а):

- возрастает вероятность неправильного понимания чужих выкладок (в частности, труднее правильно воспринимать информацию из учебников).

Это тоже требует совершенно детских мозгов и неумения читать чужой текст (что учебника, что статьи). Там же всё оговорено.

Denis Russkih в сообщении #1034232 писал(а):

Неужели всё это только ради того, чтобы записать формулы покороче?.. :)

Нет, конечно. Не короче - прозрачнее. И удобнее. Что лучше - путаться в шнурках ботинок, или нет?

[Denis Russkih]

(Оффтоп)

Да, я уже понял, что ляпнул глупость. :) Но это был крик души. Учёные часто придумывают много такого, что кажется обывателям совершенно излишним. Вот я, как обыватель, и выразил своё скудоумие недоумение.

[Munin]

Denis Russkih в сообщении #1034564 писал(а):

Учёные часто придумывают много такого, что кажется обывателям совершенно излишним.

Как сказал Фейнман, "если бы это можно было сделать проще, мы бы и сделали это проще".