Проверьте вывод о противоположной ориентированности базисов.

[DAP]

Здравствуйте, уважаемые участники и посетители форума!

Обращаюсь к вам с просьбой и предложением проверить корректность математического вывода в разделе “Теоретическая механика”.

Рассмотрим порядок ортов сферических координат, соответствующий, например, фигурирующему в [И.И.Ольховский, Курс теоретической механики для физиков, Изд-во Моск-го унив-та, 1978, стр.17 http://padaread.com/?book=28697&pg=17], которые связаны с правой базисной тройкой фиксированных векторов прямоугольной декартовой системы координат следующими соотношениями:

$\vec{n}_r=(\vec{n}_x \cos\varphi +\vec{n}_y \sin\varphi)\sin\Theta+\vec{n}_z \cos\Theta, (1)$

$\vec{n}_\Theta=(\vec{n}_x \cos\varphi +\vec{n}_y \sin\varphi)\cos\Theta-\vec{n}_z \sin\Theta, (2)$

$\vec{n}_\varphi=-\vec{n}_x \sin\varphi +\vec{n}_y \cos\varphi. (3)$

Очевидно, что выражение

$\vec{n}_{\varphi }=\frac{\partial \vec{n}_{r}}{\partial \varphi }=\frac{\partial ((\vec{n}_{x}\cos\varphi+\vec{n}_{y}\sin\varphi)\sin\Theta +\vec{n}_{z}\cos\Theta)}{\partial \varphi }=(-\vec{n}_{x}\sin\varphi+\vec{n}_{y}\cos\varphi)\sin\Theta, (4)$

математически определяющее орт $\vec{n}_{\varphi }$, не только отличается от выражения (3) из предложенного вниманию справочного перечня, но и определяет равенство его модуля единице только при условии $\Theta= \pi/2\pm \pi n$.

Приняв во внимание определение (4), справочный перечень ортов (1) – (3) перепишем математически обоснованно, при $\Theta= \pi/2$, в порядке, соответствующем классическому перечню ортов цилиндрических координат (см., например, в [И.И.Ольховский, Курс теоретической механики для физиков, Изд-во Моск-го унив-та, 1978, стр.16 http://padaread.com/?book=28697&pg=16]):

$\vec{n}_r =\vec{n}_{\rho }=\vec{n}_x \cos\varphi +\vec{n}_y \sin\varphi, (5)$

$\vec{n}_{\varphi }=-\vec{n}_x \sin\varphi +\vec{n}_y \cos\varphi, (6)$

$\vec{n}_{\Theta }=-\vec{n}_z, (7) $

который не согласуется с правой ориентацией базисной тройки векторов*.

Математически это обосновывается элементарно путем отыскания значения смешанного произведения ортов цилиндрических координат, выраженных через правую тройку базисных векторов прямоугольной декартовой системы координат, с соответствующим классическому порядком векторов в базисе ((5) – (7)):

$\left \langle \vec{n}_{\rho },\left [ \vec{n}_{\varphi}, -\vec{n}_z\right ] \right \rangle =\begin{vmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi & 0 \\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix}=-1. (8) \qquad $

Равенство значения смешанного произведения базисной тройки векторов цилиндрических координат “минус единице” и подтверждает сделанный вывод (*).

Буду благодарен за конструктивные замечания по корректности математического вывода, предложенного вниманию.

С уважением, DAP.

[kw_artem]

DAP в сообщении #1033952 писал(а):

$\vec{n}_{\varphi }=\frac{\partial \vec{n}_{r}}{\partial \varphi }=\frac{\partial ((\vec{n}_{x}\cos\varphi+\vec{n}_{y}\sin\varphi)\sin\Theta +\vec{n}_{z}\cos\Theta)}{\partial \varphi }=(-\vec{n}_{x}\sin\varphi+\vec{n}_{y}\cos\varphi)\sin\Theta, (4)$

Откуда вы такое определение взяли? Оно неверное. Вот верное:

$$\vec{e_i}=\frac 1 h_i \frac {\partial\vec r}{\partial a_i},$$

где $\vec{e_i}$ -- единичный орт координаты $a_i$, а $h_i$ -- коэффициент Ламе, который есть длина $\left\lvert\frac {\partial\vec r}{\partial a_i}\right\rvert$ и который также можно взять из выражения квадрата элемента длины $dl^2$, расписанного в координатах $a_i$: $dl^2=h_1^2 da_1^2+h_2^2 da_2^2+h_3^2 da_3^2.$
А теперь берём и расписываем элемент длины в сферических координатах:

$$dl^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta \, d\varphi^2 .$$

Нам нужна $\vec{e}_\varphi$, поэтому из выражения берём $h_{\varphi}$. Он равен $h_varphi=r\sin\theta$. Далее всё подставляем в правильную формулу. Посчитать можно и по вашей формуле (4), если её предварительно поправить (до правильного соотношения). Как видно к $\vec{n}_r$ в формуле (4) нужно добавить множитель $r$ (чтобы получить $\vec r$), а производную целиком поделить на $h_{\varphi}=r\sin\theta$. В итоге $r$ в числителе и знаменателе сократятся. Сократятся также и $\sin\theta$. И полученное выражение для $\vec{n}_r$ совпадет с формулой (3).

[Pphantom]

Во-первых, то, что идет за словами "очевидно, что", по меньшей мере не очевидно. Во-вторых, что в этом всем дискуссионного и физического?

[kw_artem]

DAP в сообщении #1033952 писал(а):

который не согласуется с правой ориентацией базисной тройки векторов.

Ну, конечно, же! У вас $\vec{n}_\varphi$ той и этой систем координат по направлению совпадают, $\vec{n}_r$ и $\vec{n}_\rho$ тоже смотрят в одну часть полупространства, а $\vec{n}_\theta$ и $\vec{n}_z$ -- противоположно направлены.

[arseniiv]

(Оффтоп)

DAP, можно поинтересоваться, почему вы в своих темах упорно не используете маленькую $\theta$ при том, что, как минимум, $\alpha\beta\mu\varphi$ вы почему-то не стесняетесь? Большая тета в окружении маленьких собратьев смотрится совершенно неуместно. Углы принято обозначать маленькими греческими буквами.

[DAP]

kw_artem в сообщении #1033955 писал(а):

DAP в сообщении #1033952 писал(а):

$\vec{n}_{\varphi }=\frac{\partial \vec{n}_{r}}{\partial \varphi }=\frac{\partial ((\vec{n}_{x}\cos\varphi+\vec{n}_{y}\sin\varphi)\sin\Theta +\vec{n}_{z}\cos\Theta)}{\partial \varphi }=(-\vec{n}_{x}\sin\varphi+\vec{n}_{y}\cos\varphi)\sin\Theta, (4)$

Откуда вы такое определение взяли? Оно неверное. Вот верное:

$$\vec{e_i}=\frac 1 h_i \frac {\partial\vec r}{\partial a_i},$$

где $\vec{e_i}$ -- единичный орт координаты $a_i$, а $h_i$ -- коэффициент Ламе, который есть длина $\left\lvert\frac {\partial\vec r}{\partial a_i}\right\rvert$
производную целиком поделить на $h_{\varphi}=r\sin\theta$

$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \varphi }=\frac{\partial (r\vec{n_{r}})}{\partial \varphi }=\vec{n_{r}}\frac{\partial r}{\partial \varphi } +r \frac{\partial \vec{n_{r}}}{\partial \varphi }=\vec{n_{r}}\frac{\partial r}{\partial \varphi } +r(-\vec{n_{x}}\sin \varphi +\vec{n_{y}}\cos \varphi)\sin\Theta; $

$\left | \frac{\partial \vec{r}}{\partial \varphi } \right |=\left | \sqrt{\left ( \frac{\partial \vec{r}}{\partial \varphi } \right )^{2}} \right |\neq r\sin \Theta\Rightarrow$

$\frac{\partial \vec{r}/\partial \varphi }{\left | \partial \vec{r}/\partial \varphi \right |}\neq -\vec{n_{x}}\sin \varphi +\vec{n_{y}}\cos \varphi $

[kw_artem]

DAP, напомните-ка определение частной производной

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: поскольку ответ на вопрос об отношении происходящего к физике я не получил, попробуем передать проблему сюда.