Доказать, что матрица квадратичной формы антисимметрична

[fronnya]

Читаю книгу по тензорам и одно из упражнений- доказать, что если $a_{mn}x^mx^n=0 \forall x^r$, то $a_{mn}=-a_{nm}$
Я попробовал сделать так:
если $a_{mn}x^mx^n=0$, то при любых $x$ все коэффициенты $a_{mn}=0$ а это значит, что и $a_{nm}=0$, тогда $a_{nm}x^mx^n=0$
Т.е. имеем два уравнения:

$$a_{mn}x^mx^n=0$$

$$a_{nm}x^mx^n=0$$

Складываем и переносим в правую часть

$$a_{mn}x^mx^n=-a_{nm}x^mx^n$$

Приравнивая коэффициенты при соответствующих неизвестных находим, что $a_{11}=-a_{11}, a_{22}=-a_{22}, a_{12}=-a_{21}, a_{21}=-a_{12}$, то есть $a_{mn}=-a_{nm}$. Можно ли так доказать?

[ИСН]

В первой же фразе Вы утверждаете, что вся матрица состоит из нулей, или написанное надо понимать в каком-то особом смысле?

[fronnya]

ИСН в сообщении #1033628 писал(а):

В первой же фразе Вы утверждаете, что вся матрица состоит из нулей, или написанное надо понимать в каком-то особом смысле?

Ну ведь она может состоять из нулей

[ИСН]

Может, конечно - при хорошей погоде и удачном расположении звёзд. Но Вам-то надо "доказать, что".

[fronnya]

ИСН в сообщении #1033631 писал(а):

Может, конечно - при хорошей погоде и удачном расположении звёзд. Но Вам-то надо "доказать, что".

Это вы, конечно, правы. Может, тогда, какой-нибудь мудрый совет дадите, который мне может помочь при доказательстве?

-- 05.07.2015, 13:48 --

А, получилось, можно просто поменять местами индексы и оба выражения разложить на сумму симметричного и антисимметричного и сравнить.

[ewert]

Можно в лоб. Во-первых, $a_{mm}=0$, т.к. это -- значение квадратичной формы на соответствующем векторе канонического базиса. Во-вторых, тогда $a_{nm}+a_{mn}=0$, т.к. это (с учётом предыдущего) -- значение квадратичной формы на сумме двух векторов канонического базиса.

[arseniiv]

(О вкусах спорят.)

fronnya в сообщении #1033622 писал(а):

$a_{mn}x^mx^n=0 \forall x^r$

Куда понятнее выглядело бы $\forall x.\;a_{mn}x^mx^n=0$. Ну или, если физики будут против голого икса, $\forall x^r.\;a_{mn}x^mx^n=0$ (но из формулы и так должно быть понятно, что $x$ один раз контравариантный) — всё равно с квантором в начале. В менее формальной записи, когда справа пишется, откуда берутся значения переменных (типа $a_i = 0,\;i\in1..4$) квантор никогда не пишется. А вот если писать словами, тогда действительно не важно, до или после.

[Утундрий]

Воспользуйтесь тем, что симметричную матрицу всегда можно привести к диагональному виду.

[ewert]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1033691 писал(а):

В менее формальной записи, когда справа пишется, откуда берутся значения переменных (типа $a_i = 0,\;i\in1..4$) квантор никогда не пишется

Пишется, хотя и не всегда. А почему вообще его пишут часто сзади -- так это особенность русского языка. По-русски произнести "для любого того-то" можно как перед утверждением, так и после него. Однако если перед, то необходима связка типа "выполнено", и поскольку на формулы не только смотрят, но ещё их и проговаривают -- ставить спереди оказывается несколько утомительно.

Утундрий в сообщении #1033691 писал(а):

Воспользуйтесь тем, что симметричную матрицу всегда можно привести к диагональному виду.

Предварительно это доказав, естественно.

[Red_Herring]

Вообще-то говоря о "матрице квадратичной формы" обычно имеют в виду симметрическую матрицу.

[ewert]

Red_Herring в сообщении #1033702 писал(а):

говоря о "матрице квадратичной формы" обычно имеют в виду симметрическую матрицу.

Это вопрос терминологии. Можно говорить о квадратичных формах как таковых, и тогда -- да, обычно. Однако можно говорить и о квадратичных формах как частных значениях билинейных, и тогда -- нет.

[epros]

fronnya в сообщении #1033635 писал(а):

можно просто поменять местами индексы и оба выражения разложить на сумму симметричного и антисимметричного и сравнить

Раскладывать на сумму симметричного и антисимметричного не обязательно. Лучше взять вектор $\vec{x}$ такой, что $x^i = x^j =1$, а остальные компоненты нулевые. Отсюда получаем: $a_{ii} + a_{ij} + a_{ji} + a_{jj} = 0$. При этом также очевидно, что ... (додумайте сами), откуда получаем искомое.

[arseniiv]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1033698 писал(а):

Пишется, хотя и не всегда.

Мне казалось, это традиция, про которую говорится в поговорке «дурной пример заразителен». А читать мы многое читаем не так как написано, в том числе и справа налево.

(Кстати, цитата приписалась неправильно.)

[ewert]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1033823 писал(а):

(Кстати, цитата приписалась неправильно.)

Да. И не первый раз. И я так и не могу понять, как это в принципе может получаться.

arseniiv в сообщении #1033823 писал(а):

А читать мы многое читаем не так как написано, в том числе и справа налево.

Читаем, но несколько напрягаясь. Традиции -- они на пустом месте не возникают.

[arseniiv]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1033827 писал(а):

Да. И не первый раз. И я так и не могу понять, как это в принципе может получаться.

Кнопка под каждым сообщением вставляет своего автора (и ссылку), не проверяя, выделен кусок того же или другого. А если даже «своя» вставляет что попало — тогда дело и правда тёмное.

ewert в сообщении #1033827 писал(а):

Читаем, но несколько напрягаясь. Традиции -- они на пустом месте не возникают.

Тут ведь дело в пороге. Ну и я бы мог ещё общих слов написать по аналогии («традиции иногда устаревают», например), но это ведь плохой аргумент — их всякий поймёт по-своему.