Электрические заряды и гравитационные массы. Запишем (для простоты в скалярной форме) законы взаимодействия электрически заряженных тел Кулона и всемирного тяготения Ньютона:
Изначально (1) и (2) – это два математических равенства. Чтобы преобразовать их в физические соотношения, преобразуем образующие их числа
в физические величины. В данном случае это делается путем присвоения этим числам соответствующей физической размерности:
– размерные числа, меры электрических зарядов взаимодействующих тел;
– размерные числа, меры гравитационных масс взаимодействующих тел:
- размерное число, сила, действующая на заряды и массы;
– размерное число, расстояние, отделяющее взаимодействующие тела.
После такого преобразования, например, запись, (1) можно рассматривать в качестве физического соотношения, которое можно сопоставить с опытом Кулона так:
если измерить величины зарядов двух электрически заряженных тел и , расстояние между ними , и силу, действующую на них , то результаты этих измерений (размерные числа) должны соотноситься согласно (1). Аналогично можно сопоставить с опытом и соотношение (2). Здесь никаких проблем нет. Проблемы возникают при сопоставлении свойств электрических зарядов, которые представлены в (1) размерными числами
и гравитационных масс, которые представлены в (2) размерными числами
Нетрудно заметить, что эти числа имеют равную размерность
. А это значит, что электрические заряды и гравитационные массы представлены в (1) и (2) как тождественные физические величины. Сразу заметим, что этот вывод не зависит от наличия в (1), (2) тех или иных системных коэффициентов. Например, закон всемирного тяготения часто записывают в форме:
Однако если учесть размерность коэффициента
, то получим:
Формальная тождественность электрического заряда и гравитационной массы, позволяет записать вполне корректное соотношение:
Из этой записи следует, электрический заряд и гравитационная масса взаимодействуют между собой. А это значит что, например, вес окружающих нас тел должен существенно зависеть от их электрического заряда чего не наблюдается.
Можно заявить, что никакой проблемы здесь нет. Интуитивно понятно, что электрический заряд и гравитационная масса суть разные свойства материальных тел, а потому они вовсе не обязаны взаимодействовать друг с другом. Однако, этот аргумент несостоятелен потому, что в рамках формального отображения интуитивные представления незначимы. В этих отображениях значимым является только то, что следует формально. А формально, т.е. из (3), следует, что такое взаимодействие есть.
На это можно возразить что, в рамках математико-интуитивного метода формальная корректность соотношения не является гарантией его соответствия опыту. Однако этот аргумент тоже нельзя принять во внимание потому, что соотношение (3) было получено не интуитивно, а формально, на основании двух проверенных в опыте соотношений (1) и (2).
Наконец, можно предположить, что эта проблема решается в рамках полных, т.е. векторных записей этих законов. Чтобы показать, что это не так, запишем законы Кулона и всемирного тяготения Ньютона в векторной форме.
Закон Кулона:
где:
– сила, действующая на заряд
со стороны заряда
;
– сила, действующая на заряд
со стороны заряда
;
– единичный вектор, направленный от первого заряда ко второму.
- единичный вектор, направленный от второго заряда к первому.
– величины взаимодействующих зарядов;
– расстояние между зарядами.
Закон всемирного тяготения Ньютона:
где:
– сила, действующая на гравитационную массу
со стороны гравитационной массы
;
– сила, действующая на гравитационную массу
со стороны гравитационной массы
;
– величины взаимодействующих гравитационных масс;
– единичный вектор, направленный от первого заряда ко второму.
– единичный вектор, направленный от второго заряда к первому.
– расстояние между зарядами.
Из этих строго соответствующих опыту записей легко составить вполне корректное соотношение, например, для силы, действующей на электрический заряд
со стороны гравитационной массы
:
Из этой записи следует, что сила взаимодействия между электрическим зарядом и гравитационной массой есть, но неизвестно ее направление. То есть, векторные записи лишь усложняют проблему (3).
Можно показать, что в общем случае проблемы (3) и (8) связаны с проблемами отображения в форме физических величин таких понятий как: гравитационная масса, электрический заряд и расстояние. Полный анализ этой проблемы, способы ее устранения и следствия приведены в [6], в главе «Метрика пространства материальных тел». Здесь же ограничимся тем, что покажем как, уточнив на основании опыта форму отображения гравитационных масс, можно устранить проблему (3).
Выше было показано, как посредством свойств положительных и отрицательных чисел можно описать свойства электрических зарядов, которые наблюдаются в опытах по электризации. В законе Кулона (1) такое представление позволяет отличать силы взаимодействия между однородными и разнородными зарядами, по их алгебраическому знаку. Поскольку этот знак определяется знаком произведения мер зарядов, то силы взаимодействия однородных зарядов отображаются как положительные, а разнородных зарядов, как отрицательные величины. То есть, силы (отталкивания), которые стремятся увеличить расстояние между взаимодействующими телами, отображаются как положительные величины. А силы, которые стремятся уменьшить расстояние между взаимодействующими телами (силы притяжения), отображаются как отрицательные величины.
Что касается гравитационных масс, то в природе известен только один их вид. Формально это соответствует тому, что их мерами в (2) могут быть либо только положительными
, либо только отрицательные
числа. Но такое представление приводит к проблеме, суть которой в следующем. Силы притяжения (силы, действующие между гравитационными массами) формально отображаются как отрицательные величины. А это значит, что в (2) произведение двух положительных
, или двух отрицательных
чисел должно быть отрицательным, что никак невозможно.
Формально эту проблему можно устранить, если соотношение (2) дополнительно снабдить знаком
:
Тогда описание взаимодействия гравитационных масс становится однородным (относительно квалификации сил взаимодействия) с описанием взаимодействия электрических зарядов. Но, при этом возникает вопрос о принадлежности знака «-».
Очевидно, что этот знак не может принадлежать мере расстояния, поскольку она в (9) взята в квадрате. Не может он принадлежать какой-то одной из мер гравитационных масс, поскольку это однородные величины. Если же считать, что знак «-» принадлежит правой части соотношения (9) в целом, тогда не устраняется проблема (3).
Все эти проблемы решаются, если считать, что этот знак принадлежит произведению мер гравитационных масс, что соответствует тому, что этими мерами являются не вещественные, а мнимые числа:
. В этом случае скалярная форма закона всемирного тяготения приобретет вид:
где
– меры гравитационных масс взаимодействующих тел, мнимые числа.
В рамках таких представлений о мерах гравитационных масс соотношение (3) будет иметь вид:
То есть, взаимодействие между гравитационной массой и электрическим зарядом есть, но сила этого взаимодействия является мнимой величиной.
Сейчас, если при решении какой-либо задачи получены результаты, которые описываются мнимыми числами, то такие решения просто отбрасываются как не имеющие смысла. Так можно поступить применительно результата (11) и сейчас. Однако, все-таки попытаемся выяснить, каков в рамках формальной модели пространства и взаимодействующих тел в нем находящихся, смысл этого результата.
Предварительно напомним суть геометрической интерпретации соотношения вещественных и мнимых чисел. Согласно этой интерпретации эти числа образуют две ортогонально расположенные числовые оси, которые пересекаются в точке «ноль». Из такой интерпретации следует, что проекция любого мнимого числа (числового отрезка) на ось вещественных чисел будет равна нулю. И, соответственно, равна нулю проекция любого вещественного числа на ось мнимых чисел. К этому добавим, что свойства нашего пространства таковы, что его метрика описывается тремя ортогональными числовыми осями, образованными вещественными числами. Отсюда очевидно, что любой пространственный объект, например вектор, мера которого (модуль) описывается мнимыми числами, будет иметь в таком пространстве нулевые проекции. То есть, из (11) следует, что гравитационная масса и электрический заряд взаимодействуют между собой. Но сила этого взаимодействия в нашем пространстве будет нулевой.
Таким образом, переход от интуитивных представлений к представлениям опыта, приводит к необходимости существенного пересмотра понятия такой физической величины как гравитационная масса.