Нарушение размерностей в формуле

[robot80]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Меня заинтересовала следующая проблема (если где-то есть на неё готовый ответ, то укажите, мой поиск вроде как ничего не дал). Предположим, что в ходе эксперимента обнаружена некая качественная зависимость одной размерной величины от другой размерной величины. Исследователь пытается нащупать закон (формулу), по которому эта зависимость осуществляется. Никакой теории процесса у него нет, и он применяет метод наименьших квадратов. В результате получается, например, что наилучая с точки зрения МНК формула имеет вид $Y = A + B \cdot \ln (x)$. Здесь, $[Y] = m$, $[x] = c$. Коэффициенты $A, B$ неясной физической природы и размерности. Можно ли эту закономерности использовать в качестве физического закона и утверждать, что зависимость между Y и x имеет указанный вид?

[arseniiv]

Разумеется, не $x$, а $Cx$, $[C] = c^{-1}$. Утверждать просто, что зависимость в точности такова, всё равно не получится.

robot80 в сообщении #1033467 писал(а):

Коэффициенты $A, B$ неясной физической природы и размерности.

Про размерности вы поспешили. Видно же, что $[Y] = [A] = [B]$.

[Munin]

robot80 в сообщении #1033467 писал(а):

Никакой теории процесса у него нет, и он применяет метод наименьших квадратов. В результате получается, например, что наилучая с точки зрения МНК формула имеет вид $Y = A + B \cdot \ln (x)$.

МНК сам по себе не может дать такой формулы. Она следует из теории, что величины связаны между собой логарифмической зависимостью.

robot80 в сообщении #1033467 писал(а):

Можно ли эту закономерности использовать в качестве физического закона и утверждать, что зависимость между Y и x имеет указанный вид?

Нельзя. Надо ещё посмотреть, насколько хорошо она описывает данные.

[robot80]

arseniiv, спасибо, что ответили! Но ведь тогда константа С (в моей формуле $C = 1$) должна быть физически осмысленной, то есть в данном случае - это угловая скорость. А если исследуемый процесс не содержит никакого вращения, то откуда может появиться такая константа? Или могут существовать размерные величины с непонятным (по крайней мере исследователю) физическим содержанием?

Munin, почему МНК не может дать такой формулы? Берём экспериментальные данные, берём пакет статистики, где много разных закономерностей, прогоняем их все. И, например, наилучшая (с точки зрения статистического пакета) получается данная закономерность.

[kw_artem]

robot80, обычно в формулах такого типа (логарифм или экспонента) переменная $x$ безразмерна. Повспоминайте из физики всякие формулы и убедитесь сами.

-- 04.07.2015, 21:19 --

Могу парочку сам подкинуть:

$$\sim e^{-\frac{E}{kT}},\qquad S = k\cdot\ln{\Omega},\qquad \exp(i(k x - \omega t)), \qquad\dots$$

Ну, а, если вы пишите перед $x$ постоянную $C$, то в здесь она будет выполнять роль размерной константы, связанной с единицами измерения $x$, и вместе $Cx$ снова даст безразмерную величину. Это можно также увидеть из того, откуда берётся данная формула (как раз то о чем говорил Munin). В данном случае Ваша зависимость возникает из дифференциального закона:

$$\frac{dy}{dx}=\frac B x.$$

Если мы в этом соотношении сделаем преобразование $x\to Cx$, то оно не изменится.

[arseniiv]

robot80 в сообщении #1033482 писал(а):

А если исследуемый процесс не содержит никакого вращения, то откуда может появиться такая константа?

Мало ли откуда. Может, это угловая скорость Земли. Как уже написал Munin, смысл зависит от того, как вы пришли к такому виду формулы. (Да и всегда смысл сам собой никогда не появляется, а получается из смысла чего-то преобразованного.)

Кстати, я поначалу подумал, что $m, c$ — это просто какие-то переменные. Если это метры и секунды, то (1) это не размерности, а единицы измерения, (2) единицы измерения пишутся прямым шрифтом:

\mathrm m, \mathrm s, \mathrm{Sv} $\mathrm m, \mathrm s, \mathrm{Sv}$

\text м, \text с, \text{Зв} $\text м, \text с, \text{Зв}$ (в математической моде обычно, и на этом форуме, нет кириллицы, потому приходится использовать \text)

Пишутся ли размерности (длина и время — $L, T$ соответственно) прямым шрифтом, я чего-то забыл, но хотя бы их узнать можно и в таком виде, в отличие от $m, c$.

[robot80]

kw_artem, я знаю, что в "правильных" физических формулах из "правильных" учебников аргумент логарифма или экспоненты всегда безразмерный. Речь идёт вот о чём: скажем студент, аспирант или докторант делает доклад и предъявляет как научный результат указанного вида формулу. На вопросы о смысле коэффициентов или логорифме он пожимает плечами и не отвечает. И вот тут возникает проблема: эта закономерность в принципе неверна (не может существовать как физический закон) или просто докладчик ещё не догадался или не выявил физическое содержание этих коэффициентов?

arseniiv, да лучше писать L и T. Формулу получают, применяя МНК к результатам эксперимента, без какого-либо теоретического обоснования.

[arseniiv]

robot80 в сообщении #1033482 писал(а):

И, например, наилучшая (с точки зрения статистического пакета) получается данная закономерность.

Так вещи не делаются. Это могла быть особенность набранных данных. Вообще, надо ещё помнить, что если одна функция похожа на другую на каком-то отрезке, вне его они могут страшно разные. Пусть они даже хоть обе аналитические. (Под похожестью можно понимать малость какой-то из обычно используемых с функциями метрик.) Может, данные совсем не на логарифмом надо описывать, а каким-то отрезоком его ряда Тейлора, на который логарифм похож, но который происходит из совсем других причин.

[robot80]

arseniiv, что же мне посоветовать этому докладчику (а он вполне реальный - на нашей кафедре действет экспертный (кандидатский) семинар, где продят предзащиты (доклады) аспирантов)? Может, по крайней мере посоветовать отнормировать каким-то разумным способом аргумент логарифма или экспоненты? А на физическую неясность коэффициентов наплевать (вроде как разберёмся в ходе дальнейших исследований, хе хе)?

[arseniiv]

robot80 в сообщении #1033489 писал(а):

И вот тут возникает проблема: эта закономерность в принципе неверна (не может существовать как физический закон) или просто докладчик ещё не догадался или не выявил физическое содержание этих коэффициентов?

1. Если под логарифмом, синусом, экспонентой не безразмерная величина, то очевидна проблема, но такое и не должно допускаться до описанной ситуации. Проблема в том, что физические величины имеют значения не из $\mathbb R$, а из линейного пространства без метрики, и никак нельзя от них взять логарифм. От нуля, правда, можно изощриться (с другими функциями), но что толку, если функция определена только в нуле?
2. У каждого физического закона есть своя область применимости. Для какого-то круга явлений и формула $F = m_1m_2^3$ для силы тяжести будет иметь нужную для какого-то применения точность. Это, однако, не значит, что не найдётся закон покрасивее и точнее. В описываемой ситуации, скорее всего, найдётся.

Странный вид у практических зависимостей происходит из того, что они описывают какие-то очень далёкие от фундмаентальных взаимодействий явления, и/или в этих явлениях участвует много частиц/тел/etc.. В таком случае мы, если бы шли «снизу», вынуждены были бы значения многих-многих переменных зафиксировать, чтобы просто иметь возможность что-то делать с уравнениями. Зависимости между какими-то величинами могут спокойно получиться неэлементарными функциями, что бывает и в простых ситуациях. И вот мы приходим с аппаратурой и начинаем, не зная вида фигуры в пространстве интересующих нас величин, которую эти зависимости представляют, что-то мерять, и намеряли много-много. (А параметров у той фигуры может оказаться и побольше, чем измеренных значений!) Тем временем, вид закона хочется получить попроще. Тогда и логарифм может вылезти там, где его нет.

robot80 в сообщении #1033494 писал(а):

что же мне посоветовать этому докладчику <…>?

Ну, если у него действительно нету $C$ размерности обратного времени, пускай добавит как минимум. А что-то кроме этого советовать мной вряд ли есть смысл.

[kw_artem]

robot80 в сообщении #1033489 писал(а):

И вот тут возникает проблема: эта закономерность в принципе неверна (не может существовать как физический закон) или просто докладчик ещё не догадался или не выявил физическое содержание этих коэффициентов?

Если он с такой проблемой столкнётся, то однозначно по второй причине: не выявил физическое содержание коэффициентов. Потому что теория размерности никак не может подвести. И скорее всего его (докладчика) проблема будет заключаться в том, что он величину $x$ воспринимает в определённом смысле как абсолютную, в то время как она относительная, т.е. эта $x$ у него на самом деле будет завуалированное $z/z_0$.

[robot80]

Всё ясно :) Спасибо за советы!

[Oleg Zubelevich]

robot80 в сообщении #1033467 писал(а):

ения МНК формула имеет вид $Y = A + B \cdot \ln (x)$

скажем $A=B\ln w,\quad Y=B\ln(wx)$ Размерность $w$ и $B$ подбираются соответствующим образом

[Amw]

robot80 в сообщении #1033467 писал(а):

обнаружена некая качественная зависимость одной размерной величины от другой размерной величины...
...Никакой теории процесса у него нет

Если нет теории, то и зависимость чисто "количественная". Значит и ловить тут нЕчего, кроме корреляции между параметрами на данном (исследованном) интервале их изменения.

[Munin]

robot80 в сообщении #1033482 писал(а):

Munin, почему МНК не может дать такой формулы? Берём экспериментальные данные, берём пакет статистики, где много разных закономерностей, прогоняем их все. И, например, наилучшая (с точки зрения статистического пакета) получается данная закономерность.

Это не называется, что МНК дал. Это называется, что вы из кучи барахла выбрали нечто наиболее подходящее. Вся ответственность на авторе кучи барахла. Ну и на вас, естественно.