Цветовое пространство

[Утундрий]

А гуглить на эту тему надобно "расслоённые пространства", ибо именно их геометрия определяет энто усьо, которое так сказать вышеупомянуто.

[Munin]

Чаще называются просто "расслоениями".

[Sicker]

А вот, если мы рассмотрим трехмерный комплексный вектор единичной длины, то у него будет пять степеней свободы, а матриц Гел-Мана восемь штук, те некоторые повороты будут вообще не будут изменять вектора?
И как сказывается на комплексном векторе излучение цвета глюонами, он же не может стать короче

[Утундрий]

Sicker в сообщении #1033313 писал(а):

, те некоторые повороты будут вообще не будут изменять вектора?

Те некоторые будут вообще будут. А вот чего они будут вообще не будут, так это не вектора, а его длины. Или обо что был вопрос?

[Munin]

Странный вопрос. Разберитесь сначала с обычным действительным случаем. Трёхмерный единичный вектор имеет две степени свободы, а вот у твёрдого тела вращательных степеней свободы - три (например, углов Эйлера). И матриц вращения тоже три. Не все они вращают произвольно взятый вектор - одна из матриц "вращает его вокруг своей оси", что на векторе не отражается. Но на другом векторе отразится - поэтому надо смотреть на систему векторов, а не на один вектор.

[Sicker]

Munin
Понял! Я что-то подобное и думал
А вот как с переносом заряда дело?

[Munin]

Sicker в сообщении #1033313 писал(а):

И как сказывается на комплексном векторе излучение цвета глюонами, он же не может стать короче

Он поворачивается.

Заодно, как вы уже выяснили, не всякий глюон может быть излучён при заданном векторе цвета кварка. Может быть излучён только такой, который его поворачивает (5 видов), и не может быть - такой, который его не поворачивает (3 вида).

[Sicker]

Munin
Ммм, а как именно он поворачивается при излучении? И какие три и пять видов?

[Munin]

Думайте. А ещё можете Рубакова почитать.

[Sicker]

В Рубакове слишком уж сложно

[Munin]

То есть, до матриц Гелл-Манна вы дочитали, но это вам сложно? Что именно сложно?

-- 04.07.2015 17:54:45 --

Кварк принадлежит фундаментальному представлению группы $SU(3),$ глюон - присоединённому. То есть, на пальцах, кварк - это вектор-столбец, а глюон - матрица. Дальше объяснять, или уже понятно?

[Sicker]

Нужно

[Munin]

Кварки суть фермионы. В присутствии калибровочного поля лагранжиан фермионов даётся в (14.46) (по сути, читать можно по (4.26)):

$$\mathcal{L}=\bar{\psi}i\gamma^\mu D_\mu\psi-m\bar{\psi}\psi.$$

Член взаимодействия здесь кроется в ковариантной производной, раскрывая которую, имеем:

$$\mathcal{L}=\bar{\psi}_a i\gamma^\mu(\delta_{ab}\partial_\mu-i\dfrac{g}{2}\lambda^A_{ab}A^A_\mu)\psi_b-\ldots,$$

где $a,b=1,...,3$ пробегают цвета, а $A=1,...,8$ - пробегают номера матриц Гелл-Манна $\lambda^A_{ab}$ (спинорные индексы опущены). Отсюда видим, что вершина взаимодействия устроена так:

$$\mathcal{L}_\mathrm{int}=\dfrac{g}{2}\bar{\psi}_a\gamma^\mu\lambda^A_{ab}A^A_\mu\psi_b.$$

Это значит, что в неё входят три линии: одна глюонная $A^A_\mu,$ одна кварковая $\psi_b,$ и одна антикварковая $\bar{\psi}_a$ (или выходящая кварковая). А всё остальное - коэффициент взаимодействия. Можно смотреть на глюон как на $\lambda^A_{ab}A^A_\mu,$ и в таком случае видно, что он несёт два цветовых индекса $a$ и $b$ - один сворачивается с исчезающим кварком, другой - с вновь рождающимся. Если у нас глюон типа $\lambda^1=\left(\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{smallmatrix}\right),$ то он, испускаясь, превращает красный кварк в зелёный, а зелёный - наоборот, в красный. Образно, можно сказать, что у этого глюона "красно-зелёный цвет". А вот глюоны типа $\lambda^6,\lambda^7$ и $\tfrac{1}{2}(\lambda^8\sqrt{3}-\lambda^3)$ красным кварком испущены быть не могут - у них соответствующий первый столбец полностью нулевой.

[Sicker]

Munin в сообщении #1033454 писал(а):

"красно-зелёный цвет"

Вы хотели сказать "красно-антизеленый"?

Munin в сообщении #1033454 писал(а):

А вот глюоны типа $\lambda^6,\lambda^7$ и $\tfrac{1}{2}(\lambda^8\sqrt{3}-\lambda^3)$

А почему последний глюон состоит из разных матриц Гелл-Мана? Или он типа в суперпозиции?
А разве матрицы Гелл-Мана не описывают только бесконечно малые, интефиземальные повороты? А обычные будут описываться комплексными экспонентами от матриц.

[Munin]

Sicker в сообщении #1049888 писал(а):

Вы хотели сказать "красно-антизеленый"?

Это пишут иногда в популярных изложениях. Но это неверная аналогия, она вас поведёт не туда, если вы будете воспринимать её слишком всерьёз. Правильно держать в голове не "<один цвет>-анти<другой цвет>", а матрицу Гелл-Мана. Вы же видите, что:

$$\lambda^1=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},$$

так что красный и зелёный (индексы 1 и 2) входят в неё совершенно одинаково. Я повторяю:

Munin в сообщении #1033454 писал(а):

он, испускаясь, превращает красный кварк в зелёный, а зелёный - наоборот, в красный.

Это означает, что такой глюон работает прекрасно и как "красно-антизелёный", и как "зелёно-антикрасный". Но важнее даже не это, а то, что есть и ещё один глюон

$$\lambda^2=\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},$$

который точно так же работает как "красно-зелёный"! Его отличие от $\lambda^1$ - в фазе: тот красный кварк, который превращается в зелёный, делает это с дополнительным фазовым множителем $i,$ а тот зелёный, который в красный, делает это с фазовым множителем $-i.$ И наконец, есть ещё и третий глюон

$$\lambda^3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix},$$

который превращает красный кварк в красный, но всё равно связывает его красный цвет с зелёным цветом! Красный кварк, испуская этот глюон, сдвигается по фазе, а зелёный кварк, если поглотит этот глюон, сдвинется по фазе в другую сторону. И только синий кварк будет безразличен к этому глюону: никак не сдвинется, и даже не поглотит.

Другой вариант сказать это написан в Википедии:

Цитата:

One commonly used list is [Griffiths 1987]:


$$\begin{array}{l@{\quad}l}(r\bar{b}+b\bar{r})/\sqrt{2}&-i(r\bar{b}-b\bar{r})/\sqrt{2}\\(r\bar{g}+g\bar{r})/\sqrt{2}&-i(r\bar{g}-g\bar{r})/\sqrt{2}\\(b\bar{g}+g\bar{b})/\sqrt{2}&-i(b\bar{g}-g\bar{b})/\sqrt{2}\\(r\bar{r}-b\bar{b})/\sqrt{2}&(r\bar{r}+b\bar{b}-2g\bar{g})/\sqrt{6}.\end{array}$$

These are equivalent to the Gell-Mann matrices...

Здесь $r\bar{g}$ как раз и означает "красный-антизелёный", но ни один глюон не является чистым $r\bar{g}.$ И при этом, с другой стороны, $r\bar{g}$ входит и в состав $(r\bar{g}+g\bar{r})/\sqrt{2},$ и в состав $-i(r\bar{g}-g\bar{r})/\sqrt{2}.$

Sicker в сообщении #1049888 писал(а):

А почему последний глюон состоит из разных матриц Гелл-Мана? Или он типа в суперпозиции?

А вы посчитайте соответствующую матрицу.

Sicker в сообщении #1049888 писал(а):

А разве матрицы Гелл-Мана не описывают только бесконечно малые, интефиземальные повороты? А обычные будут описываться комплексными экспонентами от матриц.

А какие будут комплексные экспоненты от этих матриц? Посчитайте. Здесь ситуация аналогичная тому, что происходит в $\mathrm{SU}(2)$ с матрицами Паули: экспоненты от матриц Паули приводят в некоторый момент опять к матрицам Паули. И даже в $\mathrm{U}(1)$ (на комплексной плоскости): $e^{(\pi/2)\underline{i}}=\underline{i}.$

С другой стороны, что такое член взаимодействия?

$$\mathcal{L}_\mathrm{int}=\dfrac{g}{2}\bar{\psi}_a\gamma^\mu\lambda^A_{ab}A^A_\mu\psi_b.$$

Он как раз и есть инфинитезимальное, бесконечно малое перетекание из одной дебройлевской волновой функции (одно взаимодействующее поле) в другую дебройлевскую волновую функцию (другое взаимодействующее поле). Одно поле входит в $\mathcal{L}_\mathrm{int}$ в виде $\psi$ (это оператор уничтожения), а другое - в виде $\bar{\psi}$ (это оператор рождения). Скорость такого "перетекания" образуется всеми остальными множителями, если их посчитать как числовой множитель: тут будет константа взаимодействия $\tfrac{g}{2}$ и локальная интенсивность глюонного поля $A^A_\mu$ (это тоже оператор уничтожения/рождения, но для глюона - так что в целом $\mathcal{L}_\mathrm{int}$ связывает между собой локальные значения трёх полей - именно это и отображается в диаграмме Фейнмана вершиной с двумя кварковыми и одной глюонной линией).

А полное превращение одного кварка в другой кварк произойдёт после некоторого времени, проведённого в таком "перетекании" - через полпериода колебания. Это будет как раз интеграл, или экспонента.