Совершенные числа (теорема)

[Ilya G]

Формулировка:
Если $S_n$ - чётное совершенное число и $n>1$, то должны существовать такие натуральные $a$ и $b$, что $\sum_{m=1}^{a}m=\sum_{m=1}^{b}(2m-1)^{3}=ab^{2}=S_n$, причём $a/b=2\sqrt{2}\sinh ((p\ln (2))/2)$, где $p$ - показатель соответствующего простого числа Мерсенна (последовательность A000043) и $p>2$

Доказательство:
$S=(M_p(M_p+1)/2)$,
$M_p=2^{p}-1$

$\sum_{m=1}^{a}m=(a(a+1)/2)$,
$a=M_p=2^{p}-1$ (последовательностьA001348)

Получаем:
$S=\sum_{m=1}^{2^{p}-1}m$
Совершенное чётное число равно частичной сумме натурального ряда, верхний предел которой ограничен простым число Мерсенна.

$S_n=1^{3}+3^{3}+5^{3}+..., n>1$
$1^{3}+3^{3}+5^{3}+...=\sum_{m=1}^{b}(2m-1)^{3}$

$\sum_{m=1}^{b}(2m-1)^{3}=b^{2}(2b^{2}-1)$
$b=2^{(p-1)/2}, p>2$ (последовательность A065549)

Откуда:
$ab^{2}=2^{p-1}(2^{p}-1)$
$a/b=(2^{p}-1)/(2^{(p-1)/2})=2\sqrt{2}\sinh ((p\ln (2))/2)$

Следствие:
$\sum_{m=1}^{2^{p}-1}m-\sum_{m=1}^{2^{(p-1)/2}}(2m-1)^{3}=0, p>2, 2^{p}-1=M_p$

[Iam]

Ilya G в сообщении #1032372 писал(а):

Формулировка:
Если $S_n$ - чётное совершенное число и $n>1$, то должны существовать такие натуральные $a$ и $b$, что $\sum_{m=1}^{a}m=\sum_{m=1}^{b}(2m-1)^{3}=ab^{2}=S_n$, причём $a/b=2\sqrt{2}\sinh ((p\ln (2))/2)$, где $p$ - показатель соответствующего простого числа Мерсенна (последовательность A000043) и $p>2$

Что-то непонятно. $\sum_{m=1}^{a}m = a(a+1)/2= ab^2 \Rightarrow a= 2b^2-1. $ Из $ ab^2 =S $ получаем $ S=(2b^2-1)b^2 $ . Пусть $ S=6 $, тогда чему равно $ b $, которое согласно "формулировке" должно существовать в множестве натуральных чисел?

[nnosipov]

$S=6$ получается при $p=2$, а у ТС есть ограничение $p>2$.

Претензия здесь может быть только одна: зачем всё это? Банальность, какие-то нелепые арксинусы ...