механические колебания

[Pavia]

Oleg Zubelevich
Т.е. вы считаете что ответ неправильный?

[Cos(x-pi/2)]

Pavia
Если позволите, отвечу: там под корнем получается $hl-h^2,$ (а не $2hl-h^2$); это следует из Вами же написанного уравнения окружности. (Вообще, мне не понравилась формулировка задачи: в условии должно быть явно указано, что внутренняя поверхность "стакана" сферическая, с радиусом $l/2;$ потому что из приведённого там рисунка этого не видно, а ответ зависит от её формы).

[Pavia]

Cos(x-pi/2)
Я долго ждал ответа старших.
Задачка эта не простая. Помнится когда в вузе решали её 7 лет назад. Так и не нашли правильный ответ. Решали мы её 2 путями. Энергетическим через Лагранжа. И через Ньютоновские уравнения. И получили разные результаты.

[Oleg Zubelevich]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1033248 писал(а):

а ответ зависит от её формы)

вот это я не понимаю, во всяком случае, если $xy$ -- декартова система координат (ось $y$ вертикально вверх направлена), связанная с чашкой, а гладкая функция $y=f(x)$ -- уравнеие поверхности чашки, то достаточно, что бы были две точки $(x_1,y_*),(x_2,y_*)$, принадлежащие графику, такие, что $f(x)<y_*,\quad x\in (x_1,x_2)$ и $f'(x_i)\ne 0$. Тогда ответ будет очевидным образом выражаться лишь через $l=x_2-x_1$. При том, что шайба без начальной скорости стартует из точки $(x_1,y_*)$. Даже и чтобы кривая была графиком не обязательно, просто совсем общий случай лень формулировать.

[Cos(x-pi/2)]

Oleg Zubelevich
Признаюсь, я пока не понял Ваше утверждение

Oleg Zubelevich в сообщении #1033256 писал(а):

ответ будет очевидным образом выражаться через $l=x_2-x_1$

Когда найдёте время (это конечно же не срочно :-), то приведите, пожалуйста, очевидное выражение для искомой амплитуды $A$ колебаний стакана. У меня пока что получилось лишь, что если задана кривая $y=f(x)$ (описывающая профиль дна стакана с цилиндрической симметрией в плоскости $xy,$ проведённой через ось симметрии (это ось $y$), и начало координат выбрано так, что $f(0)=0$), то уравнение для амплитуды $A$ есть

$h=f(\frac{m+M}{m}A)$ .

Отсюда я и сделал вывод, что искомое значение $A$ зависит от выбора функции $f(x).$


Pavia
Просто когда Вы раскроете $(l/2-h)^2$ в Вашем же уравнении окружности:

Pavia в сообщении #1033095 писал(а):

Stensen
Одно уравнение вы написали.
$ d_1 = \frac{md_2}{M}$
Осталось второе.
Это связь координат матерьяльной точки - шайбы. Её координаты
$(d_1+d_2)$ и $h$. Связь выражается уравнением окружности.
$(d_2+d_1)^2+(l/2-h)^2=(l/2)^2$

Решаем систему. И с ответом сходится.

то среди получившихся слагаемых будет выражение $-lh+h^2,$ (а не $-2lh+h^2$) и в итоге именно оно войдёт под корнем в ответ. Поэтому указанное Вами решение с ответом из задачника всё-таки не сходится.

[Oleg Zubelevich]

для любой $f$ указанного вида, $A=ml/(M+m)$

[Cos(x-pi/2)]

Т.е. от указанного в условии задачи параметра $h$ ответ не зависит? Даже если задать $h$ ничтожно малым, то стакан не останется почти в покое, а будет болтаться туда-сюда "на всю катушку"??

[Pavia]

Oleg Zubelevich

Oleg Zubelevich в сообщении #1033256 писал(а):

Тогда ответ будет очевидным образом выражаться лишь через $l=x_2-x_1$

Ну вот опять с обозначениями вольности. Символ $l$ уже занят, давайте напишем $w=x_2-x_1$
В том то и дело, что в условии $w=x_2-x_1$ не дано. А дано только $h=y2-y1$ А вот связь $w$ и $h$ можно записать функцией $w=f(h)$ и очевидно что зависит от формы стакана. Тут $h$ это начальное положение, т.е фиксированное значение, а не переменное.

В ходе решения мы фиксируем h и решаем как вы сказали. Но общий ответ в задачи таки зависит от формы. Хотя при решении и используется теорема которая говорит о независимости от формы стакана. Но параметры передаваемые в эту теорему зависят поэтому и для всей задачи есть зависимость от формы стакана.

[Cos(x-pi/2)]

Oleg Zubelevich в сообщении #1033262 писал(а):

для любой $f$ указанного вида, $A=ml/(M+m)$

Такой ответ мне понятен, только если предполагаю, что в условии задачи задаётся начальное расстояние (по горизонтали, т.е. вдоль оси $x)$ между шайбой и вертикальной осью симметрии стакана, и оно равно $l.$ (А так как в задаче через $l$ обозначен диаметр полости, то упомянутое расстояние будет $l/2,$ и поэтому я бы написал: $A=ml/(2(M+m)).$ Прям наваждение: сегодня чёртова двойка то там то сям мешает достичь консенсуса :-)

Но в задаче всё-таки задаётся вертикальное начальное положение шайбы $(y(0)=h)$, и тогда у меня получается $h=f(\frac{m+M}{m}A)$ .

(Оффтоп)

Уже жалею, что взялся обсуждать эту школьную задачку... Но всё-таки попробую изложить это дело с рисунками для полной ясности. И если ошибаюсь, то заранее прошу меня извинить за возможный "заскок" :-)

[Cos(x-pi/2)]

Если у стакана не будет оси симметрии, то должна быть хотя бы вертикальная плоскость симметрии - чтобы именно точно в эту плоскость мы могли бы поместить начальное положение шайбы: имхо, только тогда её движение будет двумерным (а движение стакана будет одномерным). Но тогда получается плохая задача, слишком частная; при малейшем отклонении начального положения шайбы от "симметричного" её траектория станет сложной трёхмерной, движение стакана будет двумерным, и тогда вообще непонятно, о какой амплитуде может идти речь. Поэтому, имхо, здесь разумно рассматривать только задачки с аксиальной симметрией.

[Cos(x-pi/2)]

(Обещанные подробные пояснения; и на этом всё. :-)

Пусть $x(t),y(t)$ - декартовы координаты шайбы в вертикальной плоскости в неподвижной системе отсчёта. В рассуждениях опираюсь на аксиальную симметрию стакана. И считаю поверхность стакана ровной (как на рис. в задачнике), так что центром колебаний шайбы является центр стакана. Тогда за четверть периода колебаний (к моменту времени $t=T/4$) шайба скатывается к нижней точке дна стакана, в его центре; координаты этой точки в этот момент времени приму за начало отсчёта:




А за полпериода (к моменту времени $t=T/2$) шайба поднимается до своей правой точки остановки; при этом стакан подходит к своей левой точке остановки - с координатой $X(T/2)=-A,$ где $A$ как раз и будет амплитудой колебаний стакана:



Этой картинки достаточно, но вот для ясности ещё и аналогичная картинка в начальный момент времени ($t=0$):



"Физика" этой задачи сводится, как уже выше отмечалось, к применению закона сохранения проекции суммарного импульса на ось $x$ (ибо имеется симметрия системы к параллельным переносам в горизонтальном направлении) - эта проекция равна нулю, так что:

$m \frac{dx(t)}{dt}=-M \frac{dX(t)}{dt}$ .

Интегрируя, получим:

$mx(t)=-MX(t)+C$ ,

где $C$ - постоянная интегрирования. Её значение определяем из того, что в момент времени $t=T/4$ координата шайбы $x(t)$ и координата стакана $X(t)$ обращаются в ноль; значит, $C=0.$ (Это соответствует всё время равной нулю координате центра масс по оси $x$.)

Тогда в момент $t=T/2$ имеем: $x(T/2)=-(M/m)X(T/2)=(M/m)A.$ Подставив эти значения координат в уравнение $y=f(x-X(T/2)),$ где $y(T/2)=h,$ приходим к упоминавшемуся уравнению для амплитуды колебаний стакана:

$h=f(\frac{M+m}{m}A)$ .

В такой трактовке условий задачи надо ещё знать явный вид функции $y=f(x),$ описывающей форму внутренней поверхности стакана. В задачнике сказано, что стакан имеет внутренний диаметр $l.$ Это можно понять как указание на сферическую форму внутренней поверхности, с радиусом $l/2;$ тогда функция $f(x)$ задаётся формулой для половинки окружности:

$y=l/2-\sqrt{(l/2)^2-x^2}$ , что ведёт к ответу $A=\frac{m}{M+m} \sqrt{hl-h^2}$ .

Другая трактовка условий задачи подсказывается рисунком в задачнике - из него можно заключить, что в начальный момент времени $(t=0)$ шайба покоится на расстоянии $l/2$ от оси стакана. В обозначениях приведённого выше рисунка (для $t=0$) такое условие гласит:

$-x(0)+A=l/2,$ что с учётом равенств $x(0)=-(M/m)X(0)=-(M/m)A$ ведёт к ответу $A=\dfrac{ml}{2(M+m)}$ .

(Ес-нно, при $h=l/2$ оба ответа совпадают. Всё. :-)

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1033306 писал(а):

Если у стакана не будет оси симметрии, то должна быть хотя бы вертикальная плоскость симметрии - чтобы именно точно в эту плоскость мы могли бы поместить начальное положение шайбы: имхо, только тогда её движение будет двумерным (а движение стакана будет одномерным). Но тогда получается плохая задача, слишком частная; при малейшем отклонении начального положения шайбы от "симметричного" её траектория станет сложной трёхмерной, движение стакана будет двумерным, и тогда вообще непонятно, о какой амплитуде может идти речь. Поэтому, имхо, здесь разумно рассматривать только задачки с аксиальной симметрией.

Можно ещё рассмотреть двумерный стакан :-)

[Cos(x-pi/2)]

Munin
:-)

Да, точно; до меня дошло: стакан с прямоугольной дыркой (если смотреть на него сверху), а дно у него - боковая поверхность цилиндра радиуса $l/2.$

(Оффтоп)

Для продвинутых учеников задача 5.7 может быть такой: "Обобщите понятие "стакан" в метрических пространствах произвольной размерности $d,$ и сформулируйте всевозможные задачи на закон сохранения импульса для обобщённого стакана". Для самых продвинутых, до упора: то же, но с релятивистскими и квантовыми поправками.

[Skeptic]

Если шайба размещена ниже диаметра стакана на конце хорды, то из выражения $A=\frac{m}{M+m} \sqrt{hl-h^2}$ следует, что колебания стакана будут затухающие.

[Skeptic]

Шайба совершает работу под действием силы тяжести. Эта работа не зависит от траектории движения, поэтому амплитуда стакана на зависит от его формы.
Амплитуда колебаний массы стакана равна начальному отклонению от положения равновесия, т.е. $A=\dfrac{ml}{2(M+m)}$ .