2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Совершенные числа (теорема)
Сообщение30.06.2015, 11:12 
Аватара пользователя


29/06/15
65
Тула
Формулировка:
Если $S_n$ - чётное совершенное число и $n>1$, то должны существовать такие натуральные $a$ и $b$, что $\sum_{m=1}^{a}m=\sum_{m=1}^{b}(2m-1)^{3}=ab^{2}=S_n$, причём $a/b=2\sqrt{2}\sinh ((p\ln (2))/2)$, где $p$ - показатель соответствующего простого числа Мерсенна (последовательность A000043) и $p>2$

Доказательство:
$S=(M_p(M_p+1)/2)$,
$M_p=2^{p}-1$

$\sum_{m=1}^{a}m=(a(a+1)/2)$,
$a=M_p=2^{p}-1$ (последовательностьA001348)

Получаем:
$S=\sum_{m=1}^{2^{p}-1}m$
Совершенное чётное число равно частичной сумме натурального ряда, верхний предел которой ограничен простым число Мерсенна.

$S_n=1^{3}+3^{3}+5^{3}+..., n>1$
$1^{3}+3^{3}+5^{3}+...=\sum_{m=1}^{b}(2m-1)^{3}$

$\sum_{m=1}^{b}(2m-1)^{3}=b^{2}(2b^{2}-1)$
$b=2^{(p-1)/2}, p>2$ (последовательность A065549)

Откуда:
$ab^{2}=2^{p-1}(2^{p}-1)$
$a/b=(2^{p}-1)/(2^{(p-1)/2})=2\sqrt{2}\sinh ((p\ln (2))/2)$

Следствие:
$\sum_{m=1}^{2^{p}-1}m-\sum_{m=1}^{2^{(p-1)/2}}(2m-1)^{3}=0, p>2, 2^{p}-1=M_p$

 Профиль  
                  
 
 Re: Совершенные числа (теорема)
Сообщение03.07.2015, 21:39 


01/11/14
195
Ilya G в сообщении #1032372 писал(а):
Формулировка:
Если $S_n$ - чётное совершенное число и $n>1$, то должны существовать такие натуральные $a$ и $b$, что $\sum_{m=1}^{a}m=\sum_{m=1}^{b}(2m-1)^{3}=ab^{2}=S_n$, причём $a/b=2\sqrt{2}\sinh ((p\ln (2))/2)$, где $p$ - показатель соответствующего простого числа Мерсенна (последовательность A000043) и $p>2$


Что-то непонятно. $\sum_{m=1}^{a}m  = a(a+1)/2= ab^2  \Rightarrow a= 2b^2-1. $ Из $ ab^2 =S $ получаем $ S=(2b^2-1)b^2 $ . Пусть $ S=6 $, тогда чему равно $ b $, которое согласно "формулировке" должно существовать в множестве натуральных чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совершенные числа (теорема)
Сообщение04.07.2015, 08:40 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
$S=6$ получается при $p=2$, а у ТС есть ограничение $p>2$.

Претензия здесь может быть только одна: зачем всё это? Банальность, какие-то нелепые арксинусы ...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group