Замкнутый неограниченный оператор

[AGu]

(1) Для каких нормированных пространств $X$ существуют нормированное пространство $Y$ и линейный оператор $T\colon X\to Y$ такие, что $T$ замкнут и неограничен?
(2) Для каких нормированных пространств $Y$ существуют нормированное пространство $X$ и линейный оператор $T\colon X\to Y$ такие, что $T$ замкнут и неограничен?

P.S. Предполагается, что оператор $T$ определен на всем пространстве $X$.
Замкнутым называется оператор $T\colon X\to Y$, график которого замкнут в $X\times Y$.

P.P.S. Эта задача, надеюсь, будет покруче нескольких предыдущих.

[ewert]

А почему, собственно, не для любых (бесконечномерных, естественно)?...

[AGu]

ewert в сообщении #1012374 писал(а):

А почему, собственно, не для любых (бесконечномерных, естественно)?...

Разумная гипотеза.

[sergei1961]

Оператор определён на всём пространстве, как вроде следует из постановки? Пространство полное или нет?

-- 08.05.2015, 12:24 --

Оператор определён на всём пространстве, как вроде следует из постановки? Пространство полное или нет?
Не ответ-но интересная ссылка на текст по неограниченным операторам:

http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=& ... wmfHIFaTaA

[AGu]

sergei1961 в сообщении #1012398 писал(а):

Оператор определён на всём пространстве, как вроде следует из постановки?

Да, на всем.

sergei1961 в сообщении #1012398 писал(а):

Пространство полное или нет?

Любое.

sergei1961 в сообщении #1012398 писал(а):

Не ответ-но интересная ссылка на текст по неограниченным операторам

Там, вроде, только банаховы пространства рассматриваются, а этот случай нам сейчас как раз неинтересен.

[g______d]

1) Рассмотрим какую-нибудь линейно независимую счётную систему векторов $\{x_1,x_2,\ldots\}\subset X$. Построим систему ограниченных функционалов $\varphi_1,\ldots$, такую что $\varphi_i(x_i)=1$, $\varphi_i(x_j)=0$ для $j<i$. Построим оператор $A$, действующий из $X$ в $l^{\infty}(\mathbb N)$ по формуле $(Ax)_i=c_i \varphi_i(x)$ на естественной области определения (т. е. для тех $x$, для которых результат попадает в $l^{\infty}$). Для любой последовательности $c_i$ такой оператор будет замкнут. Осталось сказать, что $c_i=i$.

Кажется.

-- Пт, 08 май 2015 02:13:07 --

AGu в сообщении #1012401 писал(а):

Да, на всем.

А, неограниченный и на всём... Ладно, тогда ответ снимается.

[red_alert]

Пусть $(X,\|\cdot\|)$ --- произвольное бесконечномерное нормированное пространство. В качестве $Y$ рассмотрим $(X,\|\cdot\|')$, где $\|\cdot\|' \succ \|\cdot\|$. Тогда тождественный оператор $I \colon (X,\|\cdot\|) \to (X,\|\cdot\|')$ разрывен (неограничен). С другой стороны, обратный оператор $I^{-1} \colon (X,\|\cdot\|') \to (X,\|\cdot\|)$ непрерывен, а значит, замкнут. Вместе с ним замкнут и $I$.

Ответ на второй вопрос зеркальный, только норму нужно ослабить, а не усилить.

Чтобы получить более сильную норму, можно, например, прибавить к исходной модуль разрывного линейного функционала. Как ослаблять норму, обсуждалось здесь.