Вектор Пойнтинга релятивистской частицы

[Munin]

Там очевидно должна быть работа, совершённая внешними силами по движению зарядов, и энергия излучения. И скорей всего, мешанина. Не понимаю, всё-таки, чего вы и зачем выписываете.

[lv00]

Munin в сообщении #1026843 писал(а):

Там очевидно должна быть работа, совершённая внешними силами по движению зарядов, и энергия излучения. И скорей всего, мешанина. Не понимаю, всё-таки, чего вы и зачем выписываете.

Должна быть. Просто хочу это показать явно, но как-то не получается избавиться от этих производных от потенциалов.

[Munin]

Может, вы расскажете про формулу подробно, что она изображает и зачем? А то её даже читать не хочется пока.

[lv00]

Munin в сообщении #1026896 писал(а):

Может, вы расскажете про формулу подробно, что она изображает и зачем? А то её даже читать не хочется пока.

Записываем плотность энергии

$$ w = \frac{E^2 + H^2}{2}$$

Далее используем то, что

$$ \vec{E} = -\vec{\nabla} \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} $$

и

$$ \vec{H} = \vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{A} $$

Для двух частиц представляем поля в виде суперпозиции

$$ \vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2} \ , \vec{H} = \vec{H_1} + \vec{H_2} $$

и рассматриваем только вклады взаимодействия типа $\vec{E}_1 \vec{E}_2, \vec{H}_1 \vec{H}_2$.
После чего используя уравнения Максвелла

$$ \vec{\nabla} \vec{E} = \rho_1 + \rho_2$$

($\rho_1, \rho_2$ - дельта функции частиц соответственно, но это сейчас неважно, оставим так)
и

$$ \vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{j} + \frac{\partial \vec{E}} {\partial t} $$

Используя выражение для полей $E, H$ через потенциалы, получаем уравнения

$$ \Delta \phi_{1,2} + \frac{\partial \vec{\nabla} \vec{A}_{1,2}} {\partial t} = - \rho_{1,2}$$

$$\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{A}_{1,2} = \vec{j}_{1,2} - \vec{\nabla} \frac{\partial \phi_{1,2}}{\partial t} - \frac{\partial ^2 \vec{A}_{1,2}} {\partial t^2}$$

(калибровка пока не зафиксирована).

Ну и далее представляя в выражении для плотности энергии $w$ поля $E, H$ через потенциалы и интегрируя по частям (как в случае электростатики) получаем следующие выражения:

$$\int d^3 \vec{x} \ \frac{\vec{E^2}}{2} = \int d^3 \vec{x} \ \frac{1}{2} \left( \phi_1 \rho_2 + \phi_2 \rho_1 - \phi_1 \frac{\partial \vec{\nabla} \vec{A}_2} {\partial t} - \phi_2 \frac{\partial \vec{\nabla} \vec{A}_1} {\partial t} + 2\frac{\partial \vec{A}_1}{\partial t} \frac{\partial \vec{A}_2}{\partial t} \right)$$

$$ \int d^3 \vec{x} \ \frac{\vec{H^2}}{2} = \int d^3 \vec{x} \ \frac{1}{2} \left( \vec{A}_1 \vec{j}_2 + \vec{A}_2 \vec{j}_1 - \vec{A}_1 \vec{\nabla} \frac{\partial \phi_2}{\partial t} - \vec{A}_2 \vec{\nabla} \frac{\partial \phi_1}{\partial t} - \vec{A}_1 \frac{\partial ^2 \vec{A}_2} {\partial t} - \vec{A}_2 \frac{\partial ^2 \vec{A}_1} {\partial t} \right) $$

[Munin]

Ну спасибо, становится яснее.

lv00 в сообщении #1026972 писал(а):

и

$$ \vec{H} = \vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{A} $$

Здесь на один ротор больше, чем нужно. И вообще-то, в векторных произведениях скобочки обязательны, а то получится другое выражение.

lv00 в сообщении #1026972 писал(а):

Для двух частиц представляем поля в виде суперпозиции

$$ \vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2} \ , \vec{H} = \vec{H_1} + \vec{H_2} $$

и рассматриваем только вклады взаимодействия типа $\vec{E}_1 \vec{E}_2, \vec{H}_1 \vec{H}_2$.

Это хорошо, но приведите явные выражения для $\vec{E}_1,\vec{E}_2,\vec{H}_1,\vec{H}_2,$ а то смысл разделения пока не задан чётко.

lv00 в сообщении #1026972 писал(а):

Используя выражение для полей $E, H$ через потенциалы, получаем уравнения

$$ \Delta \phi_{1,2} + \frac{\partial \vec{\nabla} \vec{A}_{1,2}} {\partial t} = - \rho_{1,2}$$

$$\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{A}_{1,2} = \vec{j}_{1,2} - \vec{\nabla} \frac{\partial \phi_{1,2}}{\partial t} - \frac{\partial ^2 \vec{A}_{1,2}} {\partial t^2}$$

(калибровка пока не зафиксирована).

Нет смысла возиться с потенциалами, и не фиксировать калибровку. Возьмите лоренцеву - и у вас выражения упростятся. Получатся стандартные волновые уравнения, как в ЛЛ-2 § 62.

lv00 в сообщении #1026972 писал(а):

Ну и далее представляя в выражении для плотности энергии $w$ поля $E, H$ через потенциалы и интегрируя по частям (как в случае электростатики) получаем следующие выражения:

А вот это, пожалуйста, подробнее, и максимально подробно. Потому что это самая сложная и интересная часть.

[lv00]

Цитата:

Здесь на один ротор больше, чем нужно. И вообще-то, в векторных произведениях скобочки обязательны, а то получится другое выражение.

Да, это опечатка.

Цитата:

Это хорошо, но приведите явные выражения для $\vec{E}_1,\vec{E}_2,\vec{H}_1,\vec{H}_2,$ а то смысл разделения пока не задан чётко.

Явные выражения были написаны выше:

$$\vec{E}_{1,2} = -\vec{\nabla} \phi_{1,2} - \frac{\partial \vec{A}_{1,2}}{\partial t} $$

$$ \vec{H}_{1,2} = \vec{\nabla} \times \vec{A}_{1,2} $$

Цитата:

Нет смысла возиться с потенциалами, и не фиксировать калибровку. Возьмите лоренцеву - и у вас выражения упростятся. Получатся стандартные волновые уравнения, как в ЛЛ-2 § 62.

В данном случае калибровка сильно жизнь не упрощает - соответствующие выражения типа $\frac{\partial \vec{\nabla} \vec{A}}{\partial t}$ просто заменяются на $-\frac{\partial ^2 \phi}{\partial t^2}$.

Цитата:

А вот это, пожалуйста, подробнее, и максимально подробно. Потому что это самая сложная и интересная часть.

Ну, например, для электрического поля $\vec{E}^2 = (\vec{E_1}+\vec{E_2})^2 \to 2 \vec{E}_1 \vec{E}_2$:

$$ \int d^3 \vec{x} \ \frac{1}{2} \vec{E} ^2 \to \int d^3 \vec{x} \ \vec{E}_1 \vec{E}_2 = \int d^3 \vec{x} \ (\vec{\nabla} \phi_1 + \frac{\partial \vec{A}_1}{\partial t}) (\vec{\nabla} \phi_2 + \frac{\partial \vec{A}_2}{\partial t}) $$

Далее представляем $\vec{\nabla} \phi_1 \vec{\nabla} \phi_2 = \frac{1}{2} (\vec{\nabla} \phi_1 \vec{\nabla} \phi_2 + \vec{\nabla} \phi_2 \vec{\nabla} \phi_1)$, слагаемые вида $\vec{\nabla} \phi_1 \vec{\nabla} \phi_2$ превращаем в $-\phi_1 \Delta \phi_2$ (аналогично и для второго слагаемого), то же самое делаем и с $\vec{\nabla} \phi_1 \frac{\partial \vec{A}_2}{\partial t} \to -\phi_1 \frac{\partial \vec{\nabla} \vec{A}_2}{\partial t}$ (аналогично и для второго слагаемого). Для этой группы слагаемых мы применяем уравнения для потенциалов, чтобы записать их через плотности зарядов. Например,

$$-\frac{1}{2}\phi_1 \Delta \phi_2$ + \phi_1 \frac{\partial \vec{\nabla} \vec{A}_2}{\partial t} = \frac{1}{2} \phi_1 \rho_2 + \frac{1}{2} \phi_1 \frac{\partial \vec{\nabla} \vec{A}_2}{\partial t} $$

Слагаемые $\frac{\partial \vec{A}_1}{\partial t} \frac{\partial \vec{A}_2}{\partial t}$ оставляем без изменений.
Аналогичные преобразования проводим с $\vec{H}_1 \vec{H}_2$:

$$ \int d^3 \vec{x} \ \frac{1}{2} H^2 = \int d^3 \vec{x} \ (\vec{H}_1 \vec{H}_2 + \vec{H}_2 \vec{H}_1) = \int d^3 \vec{x} \ \left( (\vec{\nabla} \times \vec{A}_1) (\vec{\nabla} \times \vec{A}_2) + (\vec{\nabla} \times \vec{A}_2 ) (\vec{\nabla} \times \vec{A}_1 ) \right) $$

Используя равенство в интеграле $(\vec{\nabla} \times \vec{A}_{1,2}) (\vec{\nabla} \times \vec{A}_{2,1}) = \vec{A}_{1,2} \ (\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{A}_{2,1}))$ и уравнения для $\vec{A}_{1,2}$, приходим к выражению, которое написано в сообщении выше. При этом тут также остаются "неиспользованные" слагаемые, приходящие от слагаемых $\frac{\partial \vec{E}} {\partial t}$ в уравнениях Максвелла.

[Munin]

lv00 в сообщении #1027074 писал(а):

В данном случае калибровка сильно жизнь не упрощает - соответствующие выражения типа $\frac{\partial \vec{\nabla} \vec{A}}{\partial t}$ просто заменяются на $-\frac{\partial ^2 \phi}{\partial t^2}$.

В волновых уравнениях как раз упрощает: они "расцепляются", появляется 4 скалярных волновых уравнения на $\varphi$ и на каждую из компонент $\mathbf{A}.$ Можно считать, что они, как волны, бегут "независимо".

lv00 в сообщении #1027074 писал(а):

Слагаемые $\frac{\partial \vec{A}_1}{\partial t} \frac{\partial \vec{A}_2}{\partial t}$ оставляем без изменений.

А чё так? С ними следует поступать аналогично. Тогда вообще всё запишется в виде "потенциал × ток".

В общем, вы приходите к известному результату.

[lv00]

Цитата:

А чё так? С ними следует поступать аналогично. Тогда вообще всё запишется в виде "потенциал × ток".

Я не очень понимаю - каким образом поступить аналогично? Тут есть только производные по времени, а интегрирование ведется по пространственным координатам.

[Munin]

Перейдите к ковариантно записанному интегралу.

[lv00]

Munin в сообщении #1027348 писал(а):

Перейдите к ковариантно записанному интегралу.

Прошу прощения, что долго не отвечал.

Не совсем понял, что вы имеете в виду.
Если рассматривать "лишние" члены (все слагаемые, кроме слагаемых типа $\phi \rho$ и $\vec{A}\vec{j}$), то их можно переписать в виде:

$$-\phi_1 \frac{\partial \vec{\nabla} \vec{A}_2}{\partial t} - \vec{A_1}\frac{\partial \vec{\nabla} \phi_2}{\partial t} - \vec{A}_1\frac{\partial^2 \vec{A}_2}{\partial t^2} + \frac{\partial \vec{A}_1}{\partial t} \frac{\partial \vec{A}_2}{\partial t} + (1 \leftrightarrow 2) = -A_0^{(1)} \partial_0 \partial_j A_j^{(2)} - A_j^{(1)} \partial_0 \partial_j A_0^{(2)} - A_j^{(1)} \partial_0 \partial_0 A_j^{(2)} + $$ $$ + \partial_0 A_j^{(1)} \partial_0 A_j^{(2)} + (1 \leftrightarrow 2) $$

что не удается собрать в какую-то единую структуру.
Если же переходить в слагаемых типа

$$ \int d^3 \vec{x} \ \vec{A}_1\frac{\partial^2 \vec{A}_2}{\partial t^2}$$

к записи вида

$$ \int d^4 x \ \vec{A}_1\frac{\partial^2 \vec{A}_2}{\partial \tau^2} \delta(t-\tau) $$

(интегрирование ведется по $\tau$, подынтегральное выражение берется в момент времени $\tau$),
то не совсем понятно, зачем, и что из этого может получиться.

[lv00]

Я так понимаю, что все эти "нежелательные" члены должны сократиться, и тогда останется только выражение вида ''потенциал $\times$ ток'', но даже если использовать

$$\int d^4 x \ \vec{A_1} \frac{\partial^2 \vec{A_2}}{\partial \tau^2} \delta (t - \tau) \ , $$

то после интегрирования по частям у слагаемого сменится знак, и ничего не сократится.
Да и я вообще сомневаюсь, что так можно делать, так как придется дифференцировать дельта-функцию.

Плюс, что еще немного смущает: если получим выражение типа ''потенциал $\times$ ток'', то энергия взаимодействия не расщепляется на энергию взаимодействия с электростатическим потенциалом и энергию взаимодействия с полем излучения (как мне это представлялось).

[lv00]

UPD: ой, что-то я глупости какие-то говорю, наверное - ведь действительно энергия взаимодействия должна быть типа "потенциал $\times$ ток" и в системе заряженных частиц. А для рассмотрения различных вкладов (от кулоновского поля и поля излучения) стоит работать на языке напряженностей полей.

[Munin]

Извините, что я выпал, но в ближайшее время я не проверю ваших выкладок. Надеюсь, кто-то другой поможет.