Назовём осью гантели прямую, проходящую через центры гантели и сферы.
Если в качестве одной из переменных взять угол поворота гантели вокруг этой оси, то
в силу симметрии гантели её потенциальная энергия не зависит от этого угла (!).
Никаких иных аксиальных сил тут нет.
След-но, покуда гантель соприкасается со сферой двумя точками, угловая скорость
вращения гантели вокруг этой оси

будет оставаться постоянной. Это следует
непосредственно из уравнений Лагранжа

ну это уже просто чушь какая-то, простите
Похоже, пора вносить ясность.
Введем подвижную декартову систему координат

, где

-- центр сферы, ось

проходит через середину гантели, а ось

параллельна оси гантели. Положение этой системы координат относительно неподвижной декартовой системы

(ось

вертикальна) зададим стандартными углами Эйлера. Это и есть обобщенные координаты нашей задачи. Выпишем в этих координатах Лагранжиан и убедимся, что это лагранжиан задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой в поле силы тяжести, причем данная задача не относится ни к одному из интегрируемых случаев (Эйлера, Лагранжа, Ковалевской).
Это означает, что кроме двух первых интегралов (один интеграл энергии, а другой -- проекция кинетического момента относительно

на

-- в углах Эйлера этот интеграл будет циклическим) других первых интегралов нет.
ps Про углы Эйлера и системы координат написано, конечно, из чисто педагогических соображений. Интегрируемые случаи определены совершенно инвариантно.