Если оператор f неограничен, то найдется последовательность

такая что

. Пусть

- координаты

. Т.к. последовательность точек в n-мерном пространстве

ограничена, то из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. В дальнейшем будем рассматривать только k, относящиеся к выбранной подпоследовательности.
Итак, путь

- какой-нибудь элемент из прообраза

(j-ый элемент базиса). Можно считать, что он существует, иначе можно уменьшить n.
Рассмотрим

. Пусть

, где

- предел последовательности

. Тогда

. Заметим далее, что

, а значит, в силу замкнутости ядра, f(-z) = 0, а с другой стороны,

. Получилось, что последовательность точек, лежащих на единичной сфере, сошлась к нулю, чего быть не может. Полученное противоречие доказывает задачу.