2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение30.06.2015, 15:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5293
ФТИ им. Иоффе СПб
Побережный Александр в сообщении #1032392 писал(а):
А какой ответ получается, если посчитать по теореме Гаусса?

Ну, с этим Вы и сами могли бы справится. Закон $\gamma\frac{mM}{r^2}$ глазом не отличим от кулоновского притяжения точечных зарядов $\frac{q_1q_2}{r^2}$. Посему для тяготения (классического) можно ввести напряженность, потенциал и т.п. как в электростатике. Тогда для напряженности гравитационного поля получится уравнение $\operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi\gamma\rho$, откуда, в точности как в электростатике, для сферически симметричной $\rho$ в шаре Вы получите $E_r=\gamma\frac{m}{r^2}$, за что Вы, собственно, и боролись. Если бы в электростатике Вы попытались это получить без Гаусса, то, с точностью до $\gamma$, получили бы интеграл, который Вы безуспешно пытаетесь сосчитать. Этим, собственно, занимался Ньютон. Он пытался доказать (и доказал!), что шары притягиваются центрами.

Да, с $r=2R\sin\theta\sin\varphi$ я не прав. Это действительно уравнение сферы, и соврали Вы где-то в другом месте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение30.06.2015, 15:41 


16/02/15
124
Побережный Александр в сообщении #1032392 писал(а):
alex55555 в сообщении #1031775 писал(а):
Почему в $da$ не учитывается угол $\varphi$ (в формуле до преобразований) ? Без $\varphi$ получается формула для $da$ на внешнем ободе кольца, не ?

Угол $\varphi$ не требуется указывать, так как вычисляются проекции для всех векторов на ось $Y$, то есть для любого угла $\varphi$.

Все векторы находятся в 3-х мерном пространстве, проекция предложенная вами находится в 2-х мерном пространстве. Поэтому категоричное "не требуется" указывает скорее на нежелание видеть проблему, чем на понимание сути ситуации. А суть такова, что без учёта третьего измерения проекции получаются некорректными. Нарисуйте изометрию с пирамидой и проведите перпендикуляры на оси X,Y,Z. Увидите, что проекции на Y зависят от проекций на X и Z.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение30.06.2015, 17:09 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 ! 
alex55555 в сообщении #1032475 писал(а):
Нарисуйте изометрию с пирамидой и проведите перпендикуляры на оси X,Y,Z. Увидите, что проекции на Y зависят от проекций на X и Z.
alex55555 - замечание за неоформление обозначений $\TeX$ом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение30.06.2015, 18:17 
Заслуженный участник


29/09/14
1249
Побережный Александр

Да, у Вас ошибка в формуле для проекции ускорения на ось $Y.$ (Заодно: в вашем втором посте есть опечатка в формуле для проекции радиус-вектора точки на ось $Z,$ но она не сказалась на расчёте; правильная формула: $z=r\cos \theta.$ ) Ведь ясно, что зависимость от углов у проекции элемента ускорения на ось $Y$ должна быть такая же, как у проекции радиус-вектора элемента массы на ту же ось $Y,$ то есть:

$y=r\sin\theta\sin\varphi$ ,

$da_y=G\frac{dM}{r^2}\sin{\theta} \sin \varphi$ .

С этой правильной формулой для $da_y$ у Вас получился бы, разумеется, правильный ответ для $a_y$:

$a_y=\frac{3GM}{4\pi R^3}\int_0^\pi\int_0^\pi\int_0^{2R\sin\theta\sin\varphi}(\sin{\theta})^2 \sin \varphi \, dr \, d\theta \, d\varphi=\frac{GM}{R^2}$ .


А ещё совет насчёт высказываний такого рода:
Побережный Александр в сообщении #1032392 писал(а):
Я свои вычисления привел, чтобы показать нестыковку, если относиться к объемному телу как точечному и не учитывать его пространственное распределение масс.
Не следует заявлять о якобы "нестыковках" в азбучных вопросах науки до того, как Вы проверите свои выкладки несколькими способами (ведь вероятность найти ошибку в своих упражнениях гораздо выше, чем в общеизвестных выводах, проверенных уже многими поколениями учёных). Конкретно, применительно к Вашему расчёту - было бы разумно для самопроверки повторить аналогичный расчёт, но с центром шара, например, на оси $Z.$ Ведь заранее ясно, что в этом случае ответ для искомой величины ускорения должен получиться прежний (а направлено ускорение в итоге будет параллельно оси $Z$). И действительно, в этом случае имеем:

$da_z=G\frac{dM}{r^2} \cos \theta$ ,

$r=2R \cos \theta$ - уравнение сферы; причём интегрировать по углу $\theta$ теперь надо будет от нуля до $\pi/2$ только, а от угла $\varphi$ подынтегральное выражение вообще не зависит (так что интегрирование по $\varphi$ сведётся просто к умножению на $2 \pi$):

$a_z=\frac{3GM}{4\pi R^3}\int_0^{2\pi}d \varphi \int_0^{\pi /2} \sin \theta \cos \theta \, (\int_0^{2R \cos  \theta} dr)\, d \theta  =\frac{GM}{R^2}$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение30.06.2015, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Cos(x-pi/2) в сообщении #1032518 писал(а):
ведь вероятность найти ошибку в своих упражнениях гораздо выше, чем в общеизвестных выводах, проверенных уже многими поколениями учёных

Вероятность того, что ошибка в них находится, выше. А уж найдёт студент её или не найдёт - это от его способностей зависит. Одни искать ошибку не умеют, другие не стремятся, третьи железобетонно уверены, что у них её нет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение30.06.2015, 19:21 
Заслуженный участник


29/09/14
1249
Munin, да, с Вашим уточнением я полностью согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение01.07.2015, 09:23 


29/07/08
536
Уважаемый Cos(x-pi/2)!
Спасибо за детальное разъяснение. Я понял свои ошибки. Поверьте, я совсем не претендовал на открытие. :D
Наоборот, был удивлен, поэтому и обратился на форум.
Спасибо всем за участие!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group