Вопрос аксиоматики

[artfin]

Добрый день!
Недавно преподаватель каверзный (как мне показалось) вопрос.
Второй закон Ньютона связывает между собой три величины: силу, массу и ускорение частицы. Какие величины собственно определяются в выражении этого закона? Понятно, что это не ускорение - с ним вроде бы все понятно=) А выбор между массой и силой мне показался непрост. Действительно, есть какое-то "определение" силы / массы?
Под "определением" силы, вероятно, можно понимать определение ее модуля, потому что в принципе существование взаимодействий подвергаться сомнению не должно) Тогда динамометр должен решить проблему...
Глобально запутался, выручайте, пожалуйста...

[Oleg Zubelevich]

первые главы Арнолльда "Мат методы" посмотрите

[artfin]

Oleg Zubelevich, или я что-то пропустил, или все-таки эти вопросы там не обсуждаются...

[Munin]

На самом деле, без разницы, что мы этим определяем: массу или силу. Всё равно, что-то одно нам придётся ввести без определения (например, силу как измеряемую динамометром (закон Гука не входит в механику), или массу, измеряемую взвешиванием (закон Ньютона тоже не входит)), а что-то другое - можно будет дефинировать через 2-й закон Ньютона.

-- 28.06.2015 16:43:27 --

Журавлёв. Основы теоретической механики:

Цитата:

В прекрасном учебнике В.И.Арнольда "Математические методы классической механики" дается ошибочное толкование принципа относительности Галилея, возникшее из-за смешения понятий "инвариантность" и "ковариантность".

:-)

[artfin]

Спасибо, понятно...
А такой вопрос (он мне показался дурацким, не понял почему его нельзя обойти постулированием): почему масса, как мера инертности (то есть, во втором законе Ньютона), равна массе, как мере тяжести (массам, стоящим в законе тяготения)?
В чем глубинный смысл этого вопроса?

[amon]

artfin в сообщении #1031841 писал(а):

Oleg Zubelevich, или я что-то пропустил, или все-таки эти вопросы там не обсуждаются...

IMHO, обсуждается вскользь на 20 странице (3-е издание, 1989).

Munin в сообщении #1031853 писал(а):

На самом деле, без разницы, что мы этим определяем: массу или силу.

Опять же, IMHO, есть единственная величина, которую без второго закона определить сложно, если бы она "по случайности" не совпала бы с другой.

[Pavia]

artfin
Вопрос с подковыркой.

Возьмите историю и почитайте Ньютона.
$ m = \frac {\vec {F}} {\vec a}$
Для описания движения планет Ньютон вводит понятия инертности стремления тела продолжать своё движение. И называет его массой. Движение планеты не подчинялись векторному(геометрическому) описанию.

Но чаще можно встретить описание.
${\vec {F}} = m {\vec a}$
Массу легко определить через вес и весы. Как к примеру это делается у Арнольда или лучше у Лагранжа.

Моё скромное мнение по этому поводу.
В конечном счёте не важно какой базис мы возьмём.
С точки зрения математики символ "$=$" означает тождества выражений слева и справа. Поэтому эквивалентность формул выше определено свойствами математики, а не физики.
Поэтому с точки зрения физики второй закон Ньютона связывает между собой три величины. А не определяет величины.
Т.е. неправильно говорить определяет величины. Закон Ньютона определяет связь или другими словами формулу, но лучше говорить связь.

[ewert]

artfin в сообщении #1031863 писал(а):

В чем глубинный смысл этого вопроса?

В том, что массы, стоящие в законе тяготения -- это на самом деле никакие не массы, а некие "заряды". И ниоткуда заранее не следует, что эти "заряды" должны совпадать с массами. А вот поди ж ты -- совпадают (точнее, пропорциональны).

[casualvisitor]

artfin в сообщении #1031833 писал(а):

Второй закон Ньютона связывает между собой три величины: силу, массу и ускорение частицы. Какие величины собственно определяются в выражении этого закона? Понятно, что это не ускорение ...

В совокупности второй и третий законы Ньютона утверждают, что каждой частице можно приписать такой скалярный параметр (называемый массой), что для любых двух взаимодействующих частиц произведения масс на соответствующие ускорения (называемые силами) равны по модулю и противоположно направлены. Этим определяются и масса, и сила (но только с точность до умножения на один и тот же коэффициент).

[Pavia]

artfin в сообщении #1031863 писал(а):

А такой вопрос (он мне показался дурацким, не понял почему его нельзя обойти постулированием): почему масса, как мера инертности (то есть, во втором законе Ньютона), равна массе, как мере тяжести (массам, стоящим в законе тяготения)?
В чем глубинный смысл этого вопроса?

Насколько я понимаю автор вопроса имел ввиду почему у одного понятия разные определения? Так получилось это закон физики вернее природы.

Но продолжая свою скромную мысль. Эти фразу дают не определения величины. А дают связи этих величин. Отсюда нет ничего удивительного в том что разные определения дают разные связи. Почему величины в этих формулах одни и тежи? Такова природа вещей - физика. Поэтому они и носят одно имя "масса" и одно обозначение "m".

Справочное отступление, для пояснения:
Символ "$=$" используется в разных значениях.
1)Как присвоение значения(числа);
2)Как определение или присвоение формулы;
3)Как тожество.

Альтернативные обозначения для этих понятий
1)$:=$;
2)= полужирный;
3)$\equiv$ .

PS. Полужирное равно в TeXtE не набирается.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Полужирное равно? Ни разу не встречал, кто это такой вредный его использовал, интересно.

[artfin]

В учебнике Т. Леви-Чивита, У. Амальди "Курс теоретической механики" приведена следующая цепочка рассуждений:
1) Представление о силе как о мускульном усилии: направление и интенсивность. Наглядный критерий силы: существование аннулирующего действия (пример с двумя грузами, соединенными нить, перекинутой через блок -- заменяя один груз на гипотетическую руку мы аннулируем действие силы веса груза на другом конце нити).
2) Опыты Галилея -- экспериментально определил (точнее, пришел к выводу что...), что ускорение падающих грузов постоянно (обозначаем его $g$). И, применяя некоторые физические соображения, пришел к выводу, что для постоянных сил верно следующее:
$\overrightarrow{F} = \frac{p}{g} \overrightarrow{a}$,
где $ p $ - вес тела.
3) Аксиоматически полагаем, что это равенство верно и для переменных сил.
4) Принцип суперпозиции.
5) Исходя из того, что отношение $\frac{p}{g}$ отражает свойство тела, полагаем по определению:
$m := \frac{p}{g}$

С этим я более-менее разобрался. Каким же образом показать (?), что в законе тяготения стоят именно массы тел?

[ewert]

artfin в сообщении #1031885 писал(а):

Каким же образом показать (?), что в законе тяготения стоят именно массы тел?

А это чисто эмпирический факт: согласно третьему закону Кеплера, ускорения планет (в первом приближении) зависят только от их расстояний до Солнца, но не зависят от их масс. Это ровно и означает, что сила притяжения пропорциональна произведению именно масс.

[Pavia]

arseniiv

(Оффтоп)

Особенность перевода бумажных книг в цифровые. Половина символов утоньшается, вторая ужирняется. А поверх просмоторщих тоже модифицирует толщину. Поэтому ничего удивительного, что Вы не видели. Из-за этого полужирные и обычные символы практически не отличимы особенно символ "=". Много кто использует: Из авторов точно помню Мякешев.
На остальных досье утеряно, но в своё время находил с 10 авторов. В последствии использован в MathCad

[Pphantom]

artfin в сообщении #1031863 писал(а):

А такой вопрос (он мне показался дурацким, не понял почему его нельзя обойти постулированием): почему масса, как мера инертности (то есть, во втором законе Ньютона), равна массе, как мере тяжести (массам, стоящим в законе тяготения)?

В общем-то правильно показался.

Из экспериментов и наблюдений следует, что гравитационная масса пропорциональна инертной массе с достаточно хорошей точностью, в результате чего в соответствующих теориях эта пропорциональность (как правило) тем или иным образом постулируется, причем для удобства коэффициент пропорциональности принимается безразмерным и численно равным единице. Соответственно, ответ на этот вопрос предполагает явное указание теории, в рамках которой это так, причем если не выходить за рамки классического закона всемирного тяготения (а, судя по вопросам, иного не предполагается), то другого ответа, кроме как "такова природа вещей", не дать.