Об отрицательности потенциальной энергии осциллятора.

[DAP]

Так как одномерный осциллятор является частью двумерного колебательного процесса, то, рассматривая (например, http://timeam.zaporozhye.net/oscillio.jpg) равномерное движение материальной точки по окружности как результирующее при сложении одновременных взаимно перпендикулярных колебаний по законам

$x=R\cos\varphi =R\cos\omega_{0} t$ (*)
$y=R\sin\varphi =R\sin\omega_{0} t$ (**)

где $R=R_{0}=const$ – величина радиуса окружности (величина амплитуды каждого из одномерных гармонических осцилляторов), $а \omega_{0}=const $– величина угловой скорости движения материальной точки по окружности, уравнение траектории движения материальной точки из уравнений (*) и (**) возможно получить только, когда исключаем параметр $\omega _{0}t$, а не $t$, так как переменная $t$ не является параметром задания окружности. Это же подтверждает и факт независимости полной энергии одномерного классического осциллятора от параметра $t$.

Следовательно, принимая в качестве параметра задания окружности угол $ \varphi $, закон движения материальной точки по окружности запишем в таком виде:

$\frac{d^{2}(m\vec{R}^{2})}{d\varphi ^2}=\frac{mR^2d^2(\cos\varphi \cdot \vec{n}_{x}+\sin\varphi \cdot \vec{n_{y}})^2}{d\varphi ^2}=$
$=2mR^2[(-\sin\varphi \cdot \vec{n}_{x}+\cos\varphi \cdot \vec{n}_{y})^2-(\cos\varphi \cdot \vec{n}_{x}+\sin\varphi \cdot \vec{n}_{y})^2]=$
$=2mR^2(\vec{n}_{\varphi }^{2}-\vec{n}_{R}^{2})=2mR^2(1^2-1^2)=0$;

$mR^2[(-\sin\varphi \cdot \vec{n}_{x}+\cos\varphi \cdot \vec{n}_{y})^2-(\cos\varphi \cdot \vec{n}_{x}+\sin\varphi \cdot \vec{n}_{y})^2]=$
$=m \dot{R}^2-mR^2=2E^{k}+U=0$,

где $m=const$ – масса материальной точки, $R = const$ – величина радиуса окружности, $\dot{R}=\upsilon$ – величина скорости движения точки по окружности, $E^{k}=\frac{m\upsilon ^2}{2}$ , $U=-mR^2 $– так называемые в классике кинетическая и потенциальная энергия двухмерного (пространственного) осциллятора соответственно.

Изложенное однозначно констатирует: общая механическая энергия совокупности одномерных осцилляторов (материальная точка движется по окружности) равна нулю.

Полная же механическая энергия любого из одномерных осцилляторов не является величиной постоянной, причем для обоих одномерных осцилляторов потенциальная энергия каждого есть величина отрицательная. Для подтверждения этого тезиса формально рассмотрим всего лишь один пример одномерного гармонического колебательного движения точки по оси $0x$.
Одномерный гармонический колебательный процесс точки по оси $0x$ будет характеризоваться следующими кинематическими интегралами движения и уравнением движения:

$x=R^2[1+\cos(2\omega _{0}t+2\varphi _{0})]/2=f(t) $
$x\dot{x}=-R^2\omega _{0}\sin(2\omega _{0}t+2\varphi _{0})/2= \dot{f}(t)$
$\dot{x}^2+x\ddot{x}=-R^2\omega _{0}^2\cos(2\omega _{0}t+2\varphi _{0})= \ddot{f}(t) $ (***)

где $R$ – амплитуда одномерных гармонических колебаний (величина радиуса окружности).

Для материальной точки массы $m$, совершающей одномерные cos-колебания (по оси $0x$), выражение (***) записывается в таком виде:

$ \frac{m\dot{x}^2}{2}+\frac{mx\ddot{x}}{2}=-R^2\omega _{0}^2m\cos(2\omega _{0}t+2\varphi _{0})/2$.

Так как момент определения значения скорости в cos-колебательном одномерном процессе с использованием функции синуса является принципиальным, то из последнего выражения явствует, что кинетическая энергия материальной точки в cos-колебательном одномерном процессе определяется, как

$E_{x}^{k}(t)=R^2\omega_{0}^{2}m\sin^2(\omega _{0}t+\varphi _{0})/2\geq 0$,

а потенциальная

$U_{x}(t)=-R^2\omega_{0}^{2}m\cos^2(\omega _{0}t+\varphi _{0})/2\leq 0$.

Аналогичная участь ждет потенциальную энергию (ее величина принимает только отрицательные значения) и при рассмотрении sin-колебательного одномерного процесса (по оси $0y$), а, следовательно классическое определение

$U=\frac{kx^2}{2}$

является постулатом без какого-либо математического обоснования.

[arseniiv]

Чего?

Уравнение гармонических колебаний (пусть сразу одномерное): $-ax = \ddot x = F/m$, т. е. $F = -max$. Так как $F = -\operatorname{grad} U = -U'_x$ (по определению), следовательно, интегрируя, $U = C_1x^2 + C_2$.

И если сила такова, то и энергия такова, никуда не деться. Если сила другая, и энергия другая, и обратно.

(Зря я это всё написал, конечно, потому что желания спорить с вами у меня нет никакого.)

[rustot]

вас смущает что при суммировании двух движений не суммируются их энергии? так это так и должно быть. и это нагляднее видно просто в одномерном случае наложения двух противонаправленных движений

[EvilPhysicist]

DAP в сообщении #805970 писал(а):

Так как одномерный осциллятор является частью двумерного колебательного процесса

Разве? Где доказательства?

DAP в сообщении #805970 писал(а):

уравнение траектории движения материальной точки из уравнений (*) и (**) возможно получить только, когда исключаем параметр $\omega _{0}t$, а не $t$, так как переменная $t$ не является параметром задания окружности

Просто набор слов. Ваши уравнения (*) и (**) уже являются уравнениями траектории.

DAP в сообщении #805970 писал(а):

закон движения материальной точки по окружности

Закон движения для материальной точки один:

$$ \cfrac{d}{dt} \vec p = \vec F ~. $$

Такой вещи как закон движения точки по окружности нет. Просто нет.

DAP в сообщении #805970 писал(а):

$\frac{d^{2}(m\vec{R}^{2})}{d\varphi ^2}=\frac{mR^2d^2(\cos\varphi \cdot \vec{n}_{x}+\sin\varphi \cdot \vec{n_{y}})^2}{d\varphi ^2}=$
$=2mR^2[(-\sin\varphi \cdot \vec{n}_{x}+\cos\varphi \cdot \vec{n}_{y})^2-(\cos\varphi \cdot \vec{n}_{x}+\sin\varphi \cdot \vec{n}_{y})^2]=$
$=2mR^2(\vec{n}_{\varphi }^{2}-\vec{n}_{R}^{2})=2mR^2(1^2-1^2)=0$;

Вы, оказывается, еще и производные считать не умеете.
И еще, видимо, не догадываетесь, что то, что вы считали называется

DAP в сообщении #805970 писал(а):

общая механическая энергия совокупности одномерных осцилляторов (материальная точка движется по окружности) равна нулю.

вектор нормали к кривой. И для окружности он отличен от нуля.

DAP в сообщении #805970 писал(а):

Изложенное однозначно констатирует:

Вам надо читать учебники перед тем, как ``делать открытия''

DAP в сообщении #805970 писал(а):

общая механическая энергия совокупности одномерных осцилляторов (материальная точка движется по окружности) равна нулю.

По вашему

$$ H= \cfrac{p^2}{2m} + \cfrac{k}{2} x^2 $$

может быть равно нули при отличных от нуля $p$ и $x$?

[Maslov]

EvilPhysicist в сообщении #806353 писал(а):

Вы, оказывается, еще и производные считать не умеете.

С производными да, проблема:

DAP в сообщении #805970 писал(а):

$R = const$ – величина радиуса окружности, $\dot{R}=\upsilon$ – величина скорости движения точки по окружности

Потенциальная энергия

DAP в сообщении #805970 писал(а):

$U=-mR^2 $

с размерностью $\text{[кг][м]}^2$ тоже внушает...

[iifat]

EvilPhysicist в сообщении #806353 писал(а):

$\cfrac{d^2}{dt^2}\vec p = \vec F$

А не первая производная разве?

[EvilPhysicist]

iifat в сообщении #806361 писал(а):

А не первая производная разве?

Упс! Вы правы, исправил.

[dvb]

В школе меня учили, что движение в потенциале не зависит от того, в каком месте его значение мы принимаем за 0, оно зависит от того, как этот потенциал меняется вдоль траектории движения материальной частицы. Теперь что-то изменилось? Есть указание все потенциалы считать отрицательными? Или только у осцилляторов?

[Pphantom]

Сообщения Fedorov_V_V и связанные с ними отделены в Пургаторий: «Закон движения по окружности»

[Oleg Zubelevich]

По мне так место всей ветке там же. Видно , ведь, все. Крупный спец пришел "однозначно констатирует" глупость всякую . Оно кому-нибудь надо?