Векторные пространства, матрица отображения.

[karandash_oleg]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей!

Дана функция $h:V\to V'$, где $B_V=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}$, $B_{V'}=\{\vec{e_1'},\vec{e_2'},\vec{e_3'},\vec{e_4'}\}$

$h(\vec{e_1})=h(\vec{e_2})$ (1)

$\vec{e_1}+\vec{e_1}+\vec{e_1}\in\operatorname{Ker}(h)$ (2)

$h(\vec{e_3})=2\vec{e_1'}-4\vec{e_2'}+2\vec{e_4'}$ (3)

1) Найти матрицу отображения $h$ из $B_V$ в $B_{V'}$

2) $\operatorname{Ker}(h)$

3) $\operatorname{Im}(h)$

Из того, что $\vec{e_1}+\vec{e_1}+\vec{e_1}\in\operatorname{Ker}(h)$ следует, что

$h(\vec{e_1}+\vec{e_1}+\vec{e_1})=0$

$h(\vec{e_1})+h(\vec{e_1})+h(\vec{e_1})=0$

Используя (1) и (3), имеем:

$2h(\vec{e_1})+2\vec{e_1'}-4\vec{e_2'}+2\vec{e_4'}=0$

$h(\vec{e_1})+\vec{e_1'}-2\vec{e_2'}+\vec{e_4'}=0$

$h(\vec{e_1})=-\vec{e_1'}+2\vec{e_2'}-\vec{e_4'}$

Тогда матрица отображения будет такой:

$A=\begin{pmatrix} -1& 2 &-1 \\ -1& 2 &-1 \\ 2&-4&2\\ \end{pmatrix}$

Но у меня с ответом не сходится, к сожалению. Я подозреваю, что это может быть связано с тем, что все строки матрицы линейно зависимы.

Но тогда как это исправить, как преобразовать эту матрицу нужно?

[Brukvalub]

Как матрица линейного отображения в ЧЕТЫРЕХмерное пространство может быть квадратной размера $3$ ?

[karandash_oleg]

Да, упустил столбец, спасибо!

$A=\begin{pmatrix} -1& 2 &0&-1 \\ -1& 2 &0&-1 \\ 2&-4&0&2\\ \end{pmatrix}$

[karandash_oleg]

У меня тут ерунда написана?

-- 26.06.2015, 19:25 --

В какую сторону хоть думать?

[2old]

karandash_oleg
У вас получается отображение из четырех мерного в трехмерное. Остальное не читал

[karandash_oleg]

Исправляюсь! Извиняюсь, что сильно туплю.

$A=\begin{pmatrix} -1&-1&2\\ 2&2&4\\ 0&0&0\\ -1&-1&2\\ \end{pmatrix}$

-- 26.06.2015, 22:03 --

Но это все равно не сходится с ответом. У меня даже есть дальнейшее решение, но оно на испанском
ссылка удалена

Честно говоря, мало что там ясно -- ясно лишь то, что матрица $A=\begin{pmatrix} -1&-1&2\\ 2&2&4\\ 0&0&0\\ -1&-1&2\\ \end{pmatrix}$ не подходит.

[iifat]

karandash_oleg в сообщении #1031185 писал(а):

$\vec{e_1}+\vec{e_1}+\vec{e_1}\in\operatorname{Ker}(h)$ (2)

Странное какое-то, имхо, условие. $\vec{e_1}+\vec{e_1}+\vec{e_1}=3\vec{e_1}$ (у нас же линейные пространства!). Вы там точно ничего не напутали?

[NSKuber]

iifat в сообщении #1031476 писал(а):

Из того, что $\vec{e_1}+\vec{e_1}+\vec{e_1}\in\operatorname{Ker}(h)$ следует, что

$h(\vec{e_1}+\vec{e_1}+\vec{e_1})=0$

$h(\vec{e_1})+h(\vec{e_1})+h(\vec{e_1})=0$

До конца доведите эти рассуждения и вычислите $h(\vec{e_1})$. А с ним и $h(\vec{e_2})$, использовав (1). Ну а $h(\vec{e_3})$ и так дано.

[iifat]

karandash_oleg в сообщении #1031399 писал(а):

У меня даже есть дальнейшее решение

Испанского тоже не знаю, но усматриваю там не $\vec{e_1}+\vec{e_1}+\vec{e_1}$, а $\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}$. Не уверен, поскольку условия вы не привели. На всякий случай: не сочтите это просьбой о ещё одной картинке. Мне лично и первой много.
К тому ж, обратите внимание на матричные формулы. «Матрицу преобразования» можно умножить слева, можно справа. Внимательно смотрите, какую вы ищете, не то найдёте правильную, но не ту.

[karandash_oleg]

iifat в сообщении #1031501 писал(а):

karandash_oleg в сообщении #1031399 писал(а):

У меня даже есть дальнейшее решение

Испанского тоже не знаю, но усматриваю там не $\vec{e_1}+\vec{e_1}+\vec{e_1}$, а $\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}$. Не уверен, поскольку условия вы не привели. На всякий случай: не сочтите это просьбой о ещё одной картинке. Мне лично и первой много.
К тому ж, обратите внимание на матричные формулы. «Матрицу преобразования» можно умножить слева, можно справа. Внимательно смотрите, какую вы ищете, не то найдёте правильную, но не ту.

Действительно $\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}$, это я опечатался при наборе текста (забыл исправить). Но дальнейшие вычисления как раз на этом и базируются. Исправлю теперь и в решении. (книжки сейчас на руках нет, только завтра смогу достать, да и нужно ли после того как я согласился с тем, что неверно привел условие?)

Дана функция $h:V\to V'$, где $B_V=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}$, $B_{V'}=\{\vec{e_1'},\vec{e_2'},\vec{e_3'},\vec{e_4'}\}$

$h(\vec{e_1})=h(\vec{e_2})$ (1)

$\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}\in\operatorname{Ker}(h)$ (2)

$h(\vec{e_3})=2\vec{e_1'}-4\vec{e_2'}+2\vec{e_4'}$ (3)

1) Найти матрицу отображения $h$ из $B_V$ в $B_{V'}$

2) $\operatorname{Ker}(h)$

3) $\operatorname{Im}(h)$

Из того, что $\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}\in\operatorname{Ker}(h)$ следует, что

$h(\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3})=0$

$h(\vec{e_1})+h(\vec{e_2})+h(\vec{e_3})=0$

Используя (1) и (3), имеем:

$2h(\vec{e_1})+2\vec{e_1'}-4\vec{e_2'}+2\vec{e_4'}=0$

$h(\vec{e_1})+\vec{e_1'}-2\vec{e_2'}+\vec{e_4'}=0$

$h(\vec{e_1})=-\vec{e_1'}+2\vec{e_2'}-\vec{e_4'}$

Тогда матрица отображения будет такой:

$A=\begin{pmatrix} -1&-1&2\\ 2&2&4\\ 0&0&0\\ -1&-1&2\\ \end{pmatrix}$

Но дальше опять же не очевидно -- почему эта матрица не подходит и что нужно дальше делать(

[ewert]

karandash_oleg в сообщении #1031513 писал(а):

что нужно дальше делать(

Далее, прежде всего, очевиден образ оператора (очевиден, т.к. образы всех базисных векторов одинаковы с точностью до множителя). Тогда очевидна и размерность ядра. При этом один вектор, принадлежащий ядру, задан непосредственно вторым условием, а другой -- в неявном виде первым условием.

[karandash_oleg]

Спасибо! Образ оператора $\{(1,1,2)\}$, да, размерность ядра будет $1$. Но на что это влияет?

[ewert]

karandash_oleg в сообщении #1031524 писал(а):

Образ оператора $\{(1,1,2)\}$, да, размерность ядра будет $1$.

Во-первых, образ -- это не вектор. Во-вторых, даже если и вектор, то вовсе не такой. В-третьих, даже если бы и такой, то отсюда следует вовсе не такая размерность ядра.

[karandash_oleg]

По определению:
$\operatorname{im}\mathcal{A}= \mathcal{A}(V)= \Bigl\{\mathbf{w}\colon\, \mathbf{w}=\mathcal{A}(v),~ \forall \mathbf{v}\in V\Bigr\}.$

Да, был не прав, не вектор, а множество векторов.

Значит образ будет линейная оболочка вектора $\{(1,1,2)\}$, то есть вектора вида $C\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 2\\ \end{pmatrix}$

Да, с размерностью я перепутал, там будет размерность три, потому как когда решим систему уравнений (из одного уравнения), там будет две свободных переменных, две константы, два линейно независимых базисных вектора в фундаментальной системе решений.

Но опять все-так не ясно -- как это все поможет?

[ewert]

karandash_oleg в сообщении #1031528 писал(а):

Значит образ будет линейная оболочка вектора $\{(1,1,2)\}$,

Да, линейная оболочка, да, одного вектора; то вовсе не такого.

karandash_oleg в сообщении #1031528 писал(а):

там будет размерность три, потому как когда решим систему уравнений (из одного уравнения), там будет две свободных переменных, две константы, два линейно независимых базисных вектора в фундаментальной системе решений.

Как-то первое утверждение противоречит второму.