Определение убывания/возрастания функции

[Nika2212]

Otta в сообщении #1031141 писал(а):

Nika2212
Окей, совершенно неважно, каким определением Вы будете пользоваться и как это называть, пожалуйста, продемонстрируйте хоть раз, как Вы это делаете. На этом примере, например.

ИСН в сообщении #1031136 писал(а):

У Вас есть функция, которая в нуле равна нулю. Больше ничего не известно. Ноль - это у неё область убывания или область возрастания?

А потом - на этом.

Otta в сообщении #1031079 писал(а):

$f(x)=x^2$ возрастает на полуинтервале $[0,+\infty)$

-- 26.06.2015, 12:59 --

Nika2212 в сообщении #1031140 писал(а):

Нет конечно.

Не пишите слов, бога ради! Используйте определение.

В первом примере ноль это точка неубывания и невозрастания. И что с этого?

Nika2212
Устное замечание за избыточное цитирование. Пользуйтесь кнопкой в сообщении, чтобы процитировать выделенный фрагмент этого сообщения.

[Otta]

Положим. Хотя Вы не обосновали. А множество, состоящее из точки $\{1\}$?

-- 26.06.2015, 14:08 --

Nika2212 в сообщении #1031140 писал(а):

то по определению убывания/возрастания функции на полуинтервале точка экстремума принадлежит обеим областям и убывания и возрастания, ну ивозникает вопрос насколько это корректно или кому это нужно

Корректно, поскольку можно убедиться в наличии или отсутствии монотонности по определению. Каких-то коллизий, например: присутствует монотонность и отсутствует одновременно, - на одном промежутке не возникает.

Нужность - вопрос часто субъективный. Нужно для чего и кому?

Давайте посмотрим примеры.

Пример 1.
Функция $f(x)=x$ на промежутке $(0,1)$ возрастает.
Функция $g(x)=\{x\}$ (дробная часть $x$) на том же промежутке - тоже. Они попросту совпадают на этом промежутке.

Пример 2.
Функция $f(x)=x$ на промежутке $[0,1]$ по-прежнему возрастает.
Возрастает ли на всем этом промежутке $g(x)$?

[NSKuber]

Otta в сообщении #1031152 писал(а):

Функция $g(x)=\{x\}$ (целая часть $x$)

(Оффтоп)

Поправьте описку, а то запутаете ещё ТС

[Otta]

NSKuber
Поправила, спасибо.

[Nika2212]

NSKuber в сообщении #1031171 писал(а):

Корректно, поскольку можно убедиться в наличии или отсутствии монотонности по определению. Каких-то коллизий, например, присутствует монотонность и отсутствует одновременно, на одном промежутке не возникает.

Я с вами вполне согласен на счёт наличия или отсутствия монотонности. Но ведь монотонная функция может быть убывающей или возрастающей и это не одно и тоже. Я постараюсь сформулировать вопрос иначе:
Множество А считается заданным, если дано условие (характерное свойство) по которому можно чётко определить принадлежит объект (число) множеству А или нет.
По определению убывания/возрастания функции на полуинтервале, точка экстремума принадлежит обеим множествам (убывания и возрастания). характерное свойство одного множества "убывание", по смыслу является исключением характерной черты второго множества "возрастание". Таким образом пользуясь определением (убывания/возрастания функции на полуинтервале) один и тот же объект (точка, число) принадлежит двум множествам, для элементов которых характерно взаимоисключающие свойства. Считается ли это коллизией? И наблюдаются ли какие либо погрешности, при использовании определения убывания/возрастания функции на интервале? Разве не чётче, сказать что функция $f(x)=|x|$ не возрастает на полуинтервале $(-\infty,0]$ и убывает на интервале $(-\infty,0)$

[arseniiv]

Nika2212 в сообщении #1031738 писал(а):

характерное свойство одного множества "убывание", по смыслу является исключением характерной черты второго множества "возрастание".

Тут собака и зарыта — нет.

-- Вс июн 28, 2015 06:02:28 --

(Ну и wording в цитате какой-то странный…)

[Otta]

Монотонность - не свойство множества, и не свойство- тем более - элементов этого множества.
Это свойство пары (функция, множество).

Nika2212 в сообщении #1031738 писал(а):

Таким образом пользуясь определением (убывания/возрастания функции на полуинтервале) один и тот же объект (точка, число) принадлежит двум множествам, для элементов которых характерно взаимоисключающие свойства. Считается ли это коллизией?

Нет, коллизией не считается, поскольку монотонность или же ее отсутствие определяются целиком на множестве.

Например, та же $f(x)=|x|$, кроме убывания на $(-\infty,0]$, на промежутке $[-1,1]$ вовсе не является монотонной, несмотря на то, что убывание и отсутствие монотонности, казалось бы, взаимоисключающи, а у этих множеств имеется целый отрезок $[-1,0]$ общих точек.

Куда же девается "взаимоисключаемость"? Все просто, эти понятия взаимоисключающи на одном множестве.

Противоречия не возникает, потому что множество, где определяется монотонность, другое. Все множество, целиком. Монотонность - глобальное понятие.

Еще раз: для фиксированной функции наличие/отсутствие монотонности и ее характер могут однозначно утверждаться по множеству.

Nika2212 в сообщении #1031738 писал(а):

Разве не чётче сказать что функция $f(x)=|x|$ не возрастает на полуинтервале $(-\infty,0]$ и убывает на интервале $(-\infty,0)$

Она и там и там убывает. "Не возрастает" - это никчемная потеря информации на пустом месте.

Можно сказать
--"функция $f(x)=|x|$ убывает на промежутке $(-\infty,0)$ и возрастает на промежутке$(0,+\infty)$". Так, кажется, Вы хотите. Но при этом Вы тоже теряете информацию.

Из информации
--"функция $f(x)=|x|$ убывает на промежутке $(-\infty,0]$ и возрастает на $[0,+\infty)$ автоматически следует, что 0 является точкой минимума, тогда как из первого утверждения это не вытекает.

-- 28.06.2015, 06:08 --

(Оффтоп)

arseniiv

arseniiv в сообщении #1031741 писал(а):

(Ну и wording в цитате какой-то странный…)

Otta в сообщении #1031152 писал(а):

Корректно, поскольку можно убедиться в наличии или отсутствии монотонности по определению. Каких-то коллизий, например: присутствует монотонность и отсутствует одновременно, - на одном промежутке не возникает.

Так лучше? :)

-- 28.06.2015, 06:16 --

ЗЫ Я помню, в стародавние времена )) одним из любимых вопросов на устном экзамене был вопрос о монотонности функции $f(x)=1/x$.

Наиболее частый ответ, который приходилось слышать, - убывает на $(-\infty,0)\cup (0,+\infty)$. Что, конечно, неправда. Несмотря на то, что функция монотонно убывает на каждом из этих промежутков.

[Henrylee]

Мне показалось, ТС путает два понятия: ''множество, на котором функция возрастает'' и ''множество точек роста''

[provincialka]

Вставлю свои 5 копеек. В правильном определении монотонности говорится о двух точках. Например,
Функция $f$ называется возрастающей на $A$, если для любых двух точек $x_1, x_2, x_1 <x_2$, принадлежащих множеству $A$, выполняется $f(x_1) <f(x_2)$.
Для убывающей функции у последнего неравенства надо сменить знак.

Что из этого следует? Если множества $A$ и $B$ имеют хотя бы две общие точки, то монотонная на них функция должна иметь один и тот же "характер монотонности". Если же такая точка только одна -- то никакого противоречия между возрастанием на одном множестве и убыванием на другом не возникает.

[arseniiv]

(2 Otta)

Otta в сообщении #1031742 писал(а):

Так лучше? :)

Так-то лучше, но я же не про вашу цитату говорил.

Тогда я тоже добавлю: для действительных чисел это, конечно, можно преобразовать в знаки приращений и прочего, но в общем случае на линейно упорядоченном множестве нет операции разности и нуля, а монотонность функции определима для такой, которая действует как раз из линейно упорядоченного в линейно упорядоченное, и большего не нужно. Хотя для одного определения можно навводить всяких знаков пар элементов и мучиться потом с ними.