Определение убывания/возрастания функции

[Nika2212]

Называя какую то величину положительной в определенных условиях, мы исключаем отрицательность той же велияины в тех же условиях. Иначе теряет смысл понятие положительности/отрицательности. Если это так, то любая величина будь она производной функции, либо приращением функции, не может быть одновременно положительным и отрицательным. Так на каком основании можно утверждать, что одна и та же точка одновременно может принадлежать к области убывания и к области возрастания, и что это не противоречит определению убывания/возрастания функции на интервале и распространять это определение на полуинтервал либо сегмент? И второй вопрос: при каких объстаятельствах (при решении каких задачь) не достаточно иметь определение убывания/возрастания функции на интервале и не обойтись без определения убывания/возрастания функции на полуинтервале или сегменте?

[Otta]

Nika2212 в сообщении #1031061 писал(а):

Так на каком основании можно утверждать, что одна и та же точка одновременно может принадлежать к области убывания и к области возрастания,

Определение возрастания/убывания, которое Вы используете, хотелось бы знать.

Nika2212 в сообщении #1031061 писал(а):

И второй вопрос: при каких объстаятельствах (при решении каких задачь) не достаточно иметь определение убывания/возрастания функции на интервале и не обойтись без определения убывания/возрастания функции на полуинтервале или сегменте?

Вопрос неясен. Ну, например, при решении дифференциальных уравнений определение монотонности не достаточно иметь, а при доказательстве неубывания функции распределения его иметь необходимо. Вы хотите полный список? Боюсь, это затруднительно.

[Nika2212]

Otta в сообщении #1031063 писал(а):

Nika2212 в сообщении #1031061 писал(а):

Определение возрастания/убывания, которое Вы используете, хотелось бы знать.
Вопрос неясен. Ну, например, при решении дифференциальных уравнений определение монотонности не достаточно иметь, а при доказательстве неубывания функции распределения его иметь необходимо. Вы хотите полный список? Боюсь, это затруднительно.

Я говорю о том, что во многих учебниках данно такое определение: Функция убывает/возрастает на заданном интервале, если её приращение отрицательно/положительно на этом интервале. (вполне понятно) Ну а потом обычно говорится о том, что можно сформулировать определение на полуинтервале или отрезке, и это не вызывает каких либо противоречий. что не совсем понятно. О чём я и задал первый вопрос. И тут же естественно возникает второй вопрос: когда не достаточно иметь определение на интервале и нужна формулировка определения на полуинтервале или сегменте?
Достаточно одного примера, где какое либо преимущество имеет определение на полуинтервале или сегменте, по сравнению с определением на интервале.

[Otta]

Nika2212 в сообщении #1031070 писал(а):

Функция убывает/возрастает на заданном интервале, если её приращение отрицательно/положительно на этом интервале. (вполне понятно)

Совершенно непонятно. Приращение функции $f(x)=x^2$ положительно на отрезке $[-1,2]$. Она на нем возрастает?

[Nika2212]

Otta в сообщении #1031074 писал(а):

Nika2212 в сообщении #1031070 писал(а):

Функция убывает/возрастает на заданном интервале, если её приращение отрицательно/положительно на этом интервале. (вполне понятно)

Совершенно непонятно. Приращение функции $f(x)=x^2$ положительно на отрезке $[-1,2]$. Она на нем возрастает?

По определению на полуинтервале приращение функции $f(x)=x^2$ отрицательно на полуинтервале $(-\infty,0]$. Она на нем убывает. И возрастает на полуинтервале $[0,+\infty)$. Вопрос по каким соображениям точку минимума причисляют к обеим областям, когда по определению на интервале точка минимума не пренадлежит к этим областям. И это мне кажется более естественным, так как в точке минимума производная равняется нулю, а нуль не отрицательное и не положительное число а не отрицательное и положительное одновременно

[Otta]

Оставьте производные в покое. Функция вообще не обязана быть дифференцируемой. Что будет более естественным для $f(x)=|x|$? У нее тоже точка минимума. Где, кстати? Чему там производная равна?

Nika2212 в сообщении #1031078 писал(а):

Вопрос по каким соображениям точку минимума причисляют к обеим областям,

Вы хотели спросить, почему граничная точка включается и в промежуток убывания, и в промежуток возрастания. По определению промежутка монотонности. Когда Вы его вспомните, Вам станет легче.
Итак, что значит, что функция является возрастающей на промежутке, Вы так и не сказали. Почему $f(x)=x^2$ возрастает на полуинтервале $[0,+\infty)$?

[Nika2212]

Otta в сообщении #1031079 писал(а):

Оставьте производные в покое. Функция вообще не обязана быть дифференцируемой. Что будет более естественным для $f(x)=|x|$? У нее тоже точка минимума. Где, кстати? Чему там производная равна?

Nika2212 в сообщении #1031078 писал(а):

Вопрос по каким соображениям точку минимума причисляют к обеим областям,

Вы хотели спросить, почему граничная точка включается и в промежуток убывания, и в промежуток возрастания. По определению промежутка монотонности. Когда Вы его вспомните, Вам станет легче.
Итак, на каком промежутке функция называется возрастающей, Вы так и не сказали. Почему $f(x)=x^2$ возрастает на полуинтервале $[0,+\infty)$?

По тому, что для любых двух точек из этого интервала приращение положительно.

[Otta]

Nika2212 в сообщении #1031082 писал(а):

по тому, что для любых двух точек из этого интервала прирашение положительно

Это уже лучше, но не вполне хорошо, потому что на пару точек можно смотреть в одном порядке, а можно в другом. И в зависимости от этого приращение будет разных знаков. Напишите хорошо. А еще лучше, обойдитесь без приращений. Будет и нагляднее, и короче.

[Nika2212]

Otta в сообщении #1031084 писал(а):

Nika2212 в сообщении #1031082 писал(а):

по тому, что для любых двух точек из этого интервала прирашение положительно

Это уже лучше, но не вполне хорошо, потому что на пару точек можно смотреть в одном порядке, а можно в другом. И в зависимости от этого приращение будет разных знаков. Напишите хорошо. А еще лучше, обойдитесь без приращений. Будет и нагляднее, и короче.

Это понятно. Но как без приращений ?

[Otta]

Ну я понимаю, учебников недостача, но неужели отключили интернет? Да хоть в Википедии посмотрите. Хоть в русской, хоть в английской. Именно определение. И попробуйте, пользуясь только им, показать, что

Otta в сообщении #1031079 писал(а):

$f(x)=x^2$ возрастает на полуинтервале $[0,+\infty)$

-- 26.06.2015, 08:44 --

Это не обязаловка, кстати. Вы вполне можете написать, что функция возрастает на промежутке $(0,\infty)$, и это тоже будет правдой, но это не максимальный промежуток. Максимальный промежуток возрастания - как раз со включенной граничной точкой, в чем несложно убедиться. В данном случае это, помимо определения, автоматически следует из непрерывности функции, но вообще выполняться не обязано.

[Nika2212]

Многоуважаемый otta В википедии определение дано именно используя приращения, другого я не нашёл. Может всётаки обясните толком как может принадлежать одна и та же точка двум множествам характерные признаки котрых противоречивы, так как положительность исключает отрицательность. Но пожалуйста сформулируйте ваше мнение корректно, а не намекая на определения которое знаете вы

[ИСН]

У Вас есть функция, которая в нуле равна нулю. Больше ничего не известно. Ноль - это у неё область убывания или область возрастания?

[PeanoJr]

Возможно, это определение немного поможет:

[Nika2212]

ИСН в сообщении #1031136 писал(а):

У Вас есть функция, которая в нуле равна нулю. Больше ничего не известно. Ноль - это у неё область убывания или область возрастания?

Нет конечно. Если рассмотреть любую параболу, то по определению убывания/возрастания функции на полуинтервале точка экстремума принадлежит обеим областям и убывания и возрастания, ну ивозникает вопрос насколько это корректно или кому это нужно

[Otta]

Nika2212
Окей, совершенно неважно, каким определением Вы будете пользоваться и как это называть, пожалуйста, продемонстрируйте хоть раз, как Вы это делаете. На этом примере, например.

ИСН в сообщении #1031136 писал(а):

У Вас есть функция, которая в нуле равна нулю. Больше ничего не известно. Ноль - это у неё область убывания или область возрастания?

А потом - на этом.

Otta в сообщении #1031079 писал(а):

$f(x)=x^2$ возрастает на полуинтервале $[0,+\infty)$

-- 26.06.2015, 12:59 --

Nika2212 в сообщении #1031140 писал(а):

Нет конечно.

Не пишите слов, бога ради! Используйте определение.