Уравнение

[assik]

Рассматривается следующая задача
$y''(x)=x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{3}{2}},\quad y(0)=1,\quad y'(0)=B$
Дело в том, что $B$ можно вычислить только приближенно, а сама задача некорректна, и искать решения для больших $x$ методами численного интегрирования не представляется возможным. Можно ли каким-то образом подобрать некий регуляризующий оператор так, чтобы задача стала корректной по начальным данным. Пытался разобраться в методах решения некорректных задач, но теория уж больно сложная. Слышал что-то про метод $\alpha-$ регуляризации Тихонова, но не понял как он реализуется.

[ИСН]

Не расходится ли эта штука на бесконечность при каких-то конечных иксах? Или в этом и есть некорректность, и вопрос как раз в том, когда?

[assik]

ИСН в сообщении #1030746 писал(а):

Не расходится ли эта штука на бесконечность при каких-то конечных иксах? Или в этом и есть некорректность, и вопрос как раз в том, когда?

Решение должно монотонно стремится к нулю при устремлении икс к бесконечности наподобие $\frac{1}{x^3}$, при этом все время оставаясь положительной. Вместо второго условия должно было стоять $\lim_{x\to \infty}y(x)=0$. Его заменили на $y'(0)=B$, а $B$ вычислена приближенно, хотя и с большой точностью. Но при численном решении задачи $y$ залезает в отрицательные значения уже при небольших $x$.

[ИСН]

А, ну дак понятно: чтобы попасть, надо прицелиться из нуля идеально точно, а чуть что не так - улетаешь в сторону, причём далеко. Вот она в чём, неустойчивость, а стало быть, и некорректность.
Искать в виде ряда вокруг бесконечности не пробовали?

[assik]

ИСН в сообщении #1030826 писал(а):

А, ну дак понятно: чтобы попасть, надо прицелиться из нуля идеально точно, а чуть что не так - улетаешь в сторону, причём далеко. Вот она в чём, неустойчивость, а стало быть, и некорректность.
Искать в виде ряда вокруг бесконечности не пробовали?

Во первых придется искать ряд по нецелым степеням, во вторых радиус сходимости этого ряда вероятно будет небольшой. Я хотел бы посмотреть что получится именно методами решения некорректных задач.

[Vince Diesel]

assik в сообщении #1030787 писал(а):

Решение должно монотонно стремится к нулю при устремлении икс к бесконечности наподобие $\frac{1}{x^3}$, при этом все время оставаясь положительной. Вместо второго условия должно было стоять $\lim_{x\to \infty}y(x)=0$. Его заменили на $y'(0)=B$, а $B$ вычислена приближенно, хотя и с большой точностью. Но при численном решении задачи $y$ залезает в отрицательные значения уже при небольших $x$.

Это свойство верно для всех $B$ или какого-то одного значения, которое точно не известно?

[assik]

Vince Diesel в сообщении #1030840 писал(а):

assik в сообщении #1030787 писал(а):

Решение должно монотонно стремится к нулю при устремлении икс к бесконечности наподобие $\frac{1}{x^3}$, при этом все время оставаясь положительной. Вместо второго условия должно было стоять $\lim_{x\to \infty}y(x)=0$. Его заменили на $y'(0)=B$, а $B$ вычислена приближенно, хотя и с большой точностью. Но при численном решении задачи $y$ залезает в отрицательные значения уже при небольших $x$.

Это свойство верно для всех $B$ или какого-то одного значения, которое точно не известно?

$B$ известно с точностью до шести цифр после запятой.

[Oleg Zubelevich]

попытка регуляризовать задучу. хоть как-то

$$y'=p+2x^{1/2}y^{3/2}+const,\quad p'=-3 x^{1/2}y^{1/2}$$

[Oleg Zubelevich]

Регуляризация

Рассмотрим две системы ДУ

$$y'=p+ 2x^{1/2}y^{3/2},\quad p'=-3x^{1/2}y^{1/2}(p+2x^{1/2}y^{3/2})\qquad(*)$$

и

$$y''=x^{-1/2}y^{3/2},\quad (**)$$

Утв. Пусть $y(x),p(x)$ -- решение системы (*) . Тогда $y(x)$ -- решение системы (**) ($y\ge 0,x>0$)

-- Чт июн 25, 2015 20:57:35 --

Соответственно, можно считать, что решение системы (**) с начальными условиями $y(0)=\hat y,\quad y'(0)=\hat y_1$. Это по определению функция $y(x)$, которая полуучается из решения системы (*) с начальными условиями $y(0)=\hat y,\quad p(0)=\hat y_1$

[assik]

Oleg Zubelevich
Спасибо большое! Твой метод работает идеально)

[Lia]

assik
Устное замечание за фамильярность. На форуме принято обращение на "Вы".