2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Уравнение
Сообщение25.06.2015, 11:51 
Аватара пользователя
Рассматривается следующая задача
$y''(x)=x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{3}{2}},\quad y(0)=1,\quad  y'(0)=B$
Дело в том, что $B$ можно вычислить только приближенно, а сама задача некорректна, и искать решения для больших $x$ методами численного интегрирования не представляется возможным. Можно ли каким-то образом подобрать некий регуляризующий оператор так, чтобы задача стала корректной по начальным данным. Пытался разобраться в методах решения некорректных задач, но теория уж больно сложная. Слышал что-то про метод $\alpha-$ регуляризации Тихонова, но не понял как он реализуется.

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение25.06.2015, 12:50 
Аватара пользователя
Не расходится ли эта штука на бесконечность при каких-то конечных иксах? Или в этом и есть некорректность, и вопрос как раз в том, когда?

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение25.06.2015, 14:30 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #1030746 писал(а):
Не расходится ли эта штука на бесконечность при каких-то конечных иксах? Или в этом и есть некорректность, и вопрос как раз в том, когда?

Решение должно монотонно стремится к нулю при устремлении икс к бесконечности наподобие $\frac{1}{x^3}$, при этом все время оставаясь положительной. Вместо второго условия должно было стоять $\lim_{x\to \infty}y(x)=0$. Его заменили на $y'(0)=B$, а $B$ вычислена приближенно, хотя и с большой точностью. Но при численном решении задачи $y$ залезает в отрицательные значения уже при небольших $x$.

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение25.06.2015, 15:24 
Аватара пользователя
А, ну дак понятно: чтобы попасть, надо прицелиться из нуля идеально точно, а чуть что не так - улетаешь в сторону, причём далеко. Вот она в чём, неустойчивость, а стало быть, и некорректность.
Искать в виде ряда вокруг бесконечности не пробовали?

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение25.06.2015, 15:30 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #1030826 писал(а):
А, ну дак понятно: чтобы попасть, надо прицелиться из нуля идеально точно, а чуть что не так - улетаешь в сторону, причём далеко. Вот она в чём, неустойчивость, а стало быть, и некорректность.
Искать в виде ряда вокруг бесконечности не пробовали?

Во первых придется искать ряд по нецелым степеням, во вторых радиус сходимости этого ряда вероятно будет небольшой. Я хотел бы посмотреть что получится именно методами решения некорректных задач.

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение25.06.2015, 15:38 
assik в сообщении #1030787 писал(а):
Решение должно монотонно стремится к нулю при устремлении икс к бесконечности наподобие $\frac{1}{x^3}$, при этом все время оставаясь положительной. Вместо второго условия должно было стоять $\lim_{x\to \infty}y(x)=0$. Его заменили на $y'(0)=B$, а $B$ вычислена приближенно, хотя и с большой точностью. Но при численном решении задачи $y$ залезает в отрицательные значения уже при небольших $x$.

Это свойство верно для всех $B$ или какого-то одного значения, которое точно не известно?

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение25.06.2015, 15:55 
Аватара пользователя
Vince Diesel в сообщении #1030840 писал(а):
assik в сообщении #1030787 писал(а):
Решение должно монотонно стремится к нулю при устремлении икс к бесконечности наподобие $\frac{1}{x^3}$, при этом все время оставаясь положительной. Вместо второго условия должно было стоять $\lim_{x\to \infty}y(x)=0$. Его заменили на $y'(0)=B$, а $B$ вычислена приближенно, хотя и с большой точностью. Но при численном решении задачи $y$ залезает в отрицательные значения уже при небольших $x$.

Это свойство верно для всех $B$ или какого-то одного значения, которое точно не известно?

$B$ известно с точностью до шести цифр после запятой.

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение25.06.2015, 16:57 
попытка регуляризовать задучу. хоть как-то

$$y'=p+2x^{1/2}y^{3/2}+const,\quad p'=-3 x^{1/2}y^{1/2}$$

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение25.06.2015, 20:52 
Регуляризация

Рассмотрим две системы ДУ

$$y'=p+ 2x^{1/2}y^{3/2},\quad p'=-3x^{1/2}y^{1/2}(p+2x^{1/2}y^{3/2})\qquad(*)$$
и $$y''=x^{-1/2}y^{3/2},\quad (**)$$

Утв. Пусть $y(x),p(x)$ -- решение системы (*) . Тогда $y(x)$ -- решение системы (**) ($y\ge 0,x>0$)

-- Чт июн 25, 2015 20:57:35 --

Соответственно, можно считать, что решение системы (**) с начальными условиями $y(0)=\hat y,\quad y'(0)=\hat y_1$. Это по определению функция $y(x)$, которая полуучается из решения системы (*) с начальными условиями $y(0)=\hat y,\quad p(0)=\hat y_1$

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение26.06.2015, 10:17 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich
Спасибо большое! Твой метод работает идеально)

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение26.06.2015, 11:06 
 !  assik
Устное замечание за фамильярность. На форуме принято обращение на "Вы".

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group