Ковариация минимального и максимального элементов выборки

[Oksana256]

Здравствуйте,
дана задача для равномерного распределения на отрезке $[0;\theta]$.
Требуется найти:
а) плотность распределения $p_{x_{(1)}}(x)$
б) плотность распределения $p_{x_{(n)}}(x)$
в) $cov(x_{(1)};x_{(n)})$

Соответственно:

$$ F(x)=\frac{x}{\theta} F_{x_{(n)}}(x)=P(x_{(n)}<x)=P(x_1<x)\cdot P(x_2<x)\cdot \ldots \cdot P(x_n<x)=(\frac{x}{\theta})^n F_{x_{(1)}}(x)=P(x_1<x)=1-p(x_1>x)=1-(1-F(x))^n=1-(1-\frac{x}{\theta})^n $$

Берем производную, получаем:

$$ p_{x_{(1)}}(x)= \frac{n}{\theta}\cdot(1-\frac{x}{\theta})^{n-1} $$ $$p_{x_{(n)}}(x)= \frac{n\cdot x^{n-1}}{\theta^n} $$

Далее рассмотрим:

$$ cov(x_{(1)};x_{(n)})=M(x_{(1)}\cdot x_{(n)})-M(x_{(1)})\cdot M(x_{(n)}) $$

$$ M(x_{(1)})=\int\limits_{0}^{\theta}(x\cdot \frac{n}{\theta}\cdot(1-\frac{x}{\theta})^{n-1} )dx=\frac{\theta}{n+1} $$ $$ M(x_{(n)})=\int\limits_{0}^{\theta}(x\cdot \frac{n\cdot x^{n-1}}{\theta^n})dx=\frac{\theta\cdot n}{n+1} $$

А вот с $M(x_{(1)}\cdot x_{(n)})$ возникает проблема, так как $x_{(1)}$ и $x_{(n)}$ зависимы.
Есть идея найти закономерность для $n$

При $n=2$

$$ M(x_{(1)}\cdot x_{(2)})=M(x_1\cdot x_2)[=M(x_2\cdot x_1)]=M(x_1)\cdot M(x_2)= (\int\limits_{0}^{\theta}(x\cdot\frac{1}{\theta})dx)^2=(\frac{\theta}{2})^2 $$

Возникает вопрос, что делать с $n=3$, потому что как рассматривать зависимые $x_{(1)}$ и $x_{(3)}$ непонятно.

[NSKuber]

Найдите совместное распределение $x_{(1)},x_{(n)}$ по той же схеме, по которой вы нашли его для каждой из статистик по отдельности. Это не очень трудно, разве что нужно будет несколько случаев разобрать. Далее всё понятно.
Сам в этом семестре прошёл курс матстата, подобное (причём именно для равномерного распределения на $[0,\theta]$) приходилось делать не раз

[Oksana256]

Мне известна функция совместного распределения

$$F=P(x_{(1)}<x)\cdot P(x_{(n)}<x)$$

Но она для независимых величин
Как найти её же для зависимых в данном случае?

[Otta]

Oksana256 в сообщении #1030343 писал(а):

$$F=P(x_{(1)}<x)\cdot P(x_{(n)}<x)$$

Это не определение функции распределения, это определение (критерий) независимости: с.в. являются независимыми, если функция их совместного распределения равна произведению функций маргинальных распределений.

Так вот чтобы этим определением пользоваться для проверки независимости, например, функция совместного распределения как-то все-таки должна быть определена. Не может быть не определена. Как?

[Oksana256]

Мне только эта формула известна, а саму функцию мне надо найти

[Otta]

Значит, ищите определение в конспектах и в учебниках. Без него еще никто не обходился.

[Oksana256]

На лекциях определения функции совместного распределения зависимых величин у нас не было, в интернете тоже ничего не найти

[ИСН]

Эта формула не нужна и не имеет отношения к делу. Совместную функцию надо искать не по формуле и не из одночастичных функций, а прямо из отдельных винтиков и буковок, как выше Вы искали сами эти одночастичные функции:
$F_{x_1, x_n}(x,y)=P(x<x_1, x_n<y) = P(x<x_1<y)\cdot P(x<x_2<y)\cdot\ldots$

[Otta]

ИСН в сообщении #1030368 писал(а):

$F_{x_1, x_n}(x,y)=P(x<x_1, x_n<y) = P(x<x_1<y)\cdot P(x<x_2<y)\cdot\ldots$

Не совсем.

[Oksana256]

Насколько я понимаю, эта формула находит вероятность всем величинам попасть в заданный промежуток, но произведение минимального и максимального элемента она не показывает.

[ИСН]

Вам не надо произведение минимального и максимального элемента. Вам надо их совместную функцию распределения, а уж потом из неё можно получить что угодно.

[Oksana256]

В том то и дело, что я не знаю, как из распределения вывести произведение

[ИСН]

Так же, как всё остальное. Смотрите, как вывести из распределения величины среднее значение этой самой величины, Вы же знаете?

[Oksana256]

Среднее значение расписываем через сумму и считаем для каждого слагаемого. С произведением, кажется, так нельзя.

[ИСН]

Погодите, какую сумму, какого слагаемого. Вот величина; у неё есть плотность распределения, $\rho(x)$. Чему равно среднее значение величины?