В стиле Рамануджана

[arqady]

Найдите такие рациональные

$$A$$

и

$$B,$$

для которых выполняется равенство

$$\sqrt[6]{7\sqrt[3]{20}-19}=\sqrt[3]A+\sqrt[3]B.$$

Исправил ошибку в условии.
Вот ещё из той же оперы:
Найдите такие рациональные

$$A,$$

$$B$$

и

$$C,$$

для которых выполняется равенство

$$\sqrt[3]{7\sqrt[3]{20}-1}=\sqrt[3]A+\sqrt[3]B+\sqrt[3]C.$$

[Edward_Tur]

$\sqrt[6]{7\sqrt[3]{{20}} - 19} = \sqrt[3]{{ - \frac{2}{3}}} + \sqrt[3]{{\frac{5}{3}}}$

[juna]

$\sqrt[3]{7\sqrt[3]{{20}} - 1} = \sqrt[3]{{ \frac{16}{9}}} + \sqrt[3]{{\frac{100}{9}}}+\sqrt[3]{-{\frac{5}{9}}}$

[arqady]

Всё правильно!

Cуществует бесконечная серия подобных "нетривиальных" равенств.

[maxal]

Более интересно рассмотреть задачу, определения возможности представления чисел в таком виде. Например, при каких a,b,c число $\sqrt[3]{a\sqrt[3]{b}+c}$ представимо в виде суммы трех кубических корней из рациональных чисел.

[neo66]

arqady писал(а):

Cуществует бесконечная серия подобных "нетривиальных" равенств.

А как они получаются?

[juna]

Вообще, техника здесь такая: зададим два числа $a,c$, так, что $c$ - куб.
Зададим многочлен $x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0$. Пусть $x_1,x_2,x_3$ - корни, а коэффициенты выражаются через $a,c$, если не напутал, так:
$a_1=\frac{2\sqrt[3]{c}+a}{3}$, $a_2=\frac{\sqrt[3]{c^2}+a\sqrt[3]{c}-2a^2}{27}$, $a_3=\left ( \frac{a-\sqrt[3]{c}}{9}\right )^3$
Тогда $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^3-c}-a}=\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+\sqrt[3]{x_3}$
Об этом есть статья о тождестве Рамануджана (правда с ошибками)
Что касается рациональных решений, то вопрос сводится к тому, как подобрать $a,c$ чтобы у кубического уравнения $x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0$ получались рациональные решения.

[arqady]

neo66, juna, можно воспользоваться вот таким тождеством:

$$\sqrt[3]{m^3+6m^2n+3mn^2-n^3-3(m^2+mn+n^2)\sqrt[3]{(m+n)mn}}=\sqrt[3]{m^2(m+n)}-\sqrt[3]{mn^2}-\sqrt[3]{(m+n)^2n}.$$

При

$$m=n=1$$

получается знаменитое равенство Рамануджана.

[juna]

Красивое соотношение.
Еще интересно, если нашли искомое разложение для заданных $a,c$, является ли оно однозначным с точностью до несократимых дробей?

[juna]

Тут (у Рамануджана) еще одна формула всплыла:
$\sqrt[3]{(m^2+mn+n^2)\sqrt[3]{(m-n)(m+2n)(2m+n)}+3mn^2+n^3-m^3}=$
$\sqrt[3]{\frac{(m-n)(m+2n)^2}{9}}-\sqrt[3]{\frac{(2m+n)(m-n)^2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{(m+2n)(2m+n)^2}{9}}$