теорема об обратной функции

[Oleg Zubelevich]

Пусть $U\subset\mathbb{R}^m$ -- некоторое открытое множество; отображение $f:U\to\mathbb{R}^m$ -- непрывно во всех точках $U$ и дифференцируемо в точке $a\in U,\quad \det\frac{\partial f}{\partial x}(a)\ne 0.$

Доказать, что в некоторой окрестности точки $a$ отображение $f$ инъективно.

[ewert]

$f(x)=x+x^2\sin\frac1{x^2}$

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #1029945 писал(а):

$f(x)=x+x^2\sin\frac1{x^2}$

и что?

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #1029990 писал(а):

и что?

Докажите, что она инъективна.

[Oleg Zubelevich]

зачем? к задаче эта функция отношения не имеет

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #1029992 писал(а):

к задаче эта функция отношения не имеет

Ну не нравится эта -- возьмите такую: $\begin{cases}f(x,y)=x+x^2\sin\frac1{x^2}\\ g(x,y)=y\end{cases}$

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #1029992 писал(а):

к задаче эта функция отношения не имеет

$m=1$, $U=\mathbb R$, $a=0$, что я делаю не так?

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #1029999 писал(а):

$m=1$, $U=\mathbb R$, $a=0$, что я делаю не так?

функция недифференцируема в нуле

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #1030012 писал(а):

функция недифференцируема в нуле

ещё как дифференцируема -- не просто как-то, а по определению!

[grizzly]

Это классика с Гелбаум, Олмстед "Контрпримеры в анализе" (начало главы 3). Вчера в теме "Снежинка Коха" тоже о похожих вещах говорили. Эти дикие примеры выглядят контринтуитивно, конечно.

[Oleg Zubelevich]

да, дифференцируема, это я напутал. функция является контрпримером

[ewert]

Как раз этот контрпример интуитивно должен быть очень понятен: дифференцируемость функции в одной точке накладывает ограничения на поведение самой функции в окрестности точки, но не накладывает решительно никаких ограничений на поведение производной -- и, следовательно, на монотонности.

Я читал теорему об обратной функции меньше года назад, и тоже задумывался над тем, нельзя ли как-нибудь ослабить требование непрерывной дифференцируемости, причём ослабить так, чтобы об этом можно было хотя бы упомянуть на лекции. Выяснилось, что нет, никакие хоть сколько-то внятные усиления в этом направлении невозможны, что этот простенький контрпримерчик прекрасно и иллюстрирует.

-- Вт июн 23, 2015 15:46:56 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1030023 писал(а):

непрывно во всех точках $U$ и непрерывно дифференцируемо в точке

Избыточно: первое, грубо говоря, следует из второго.

Oleg Zubelevich в сообщении #1030023 писал(а):

Доказать, что в некоторой окрестности точки $a$ отображение $f$ инъективно.

Не надо этого доказывать, надо просто открыть любой учебник. Кроме того, формулировка неполна: следует ещё упомянуть, что обратное отображение оказывается определеным на некоторой окрестности образа.

Да, такое усиление возможно, причём даётся даром. Но поскольку оно не очень естественно, то я его и не делал (возможно, упомянул в замечании -- а может, и нет, не помню).

[g______d]

Можно требование непрерывности производной убрать,

https://terrytao.wordpress.com/2011/09/ ... able-maps/

http://mathoverflow.net/questions/75049 ... iable-maps

[ewert]

Там зато, если я правильно понял, требуется невырожденность производной не только в центре, но и в некоторой окрестности, что не есть вполне гуд.

[Oleg Zubelevich]

нашел я у себя ошибку. вообщем из моих рассуждений следует только то, что в условиях стартового поста, $f(U)$ является окрестностью точки $f(a)$.