Эллипсоид: нормаль и малая ось

[DrPilman]

Проверьте, пожалуйста, правильность хода решения.

Имеется эллипсоид, с малой осью - $c$ . Необходимо доказать, что в общем случае малая ось эллипсоида и нормаль к поверхности эллипсоида не лежат в одной плоскости.

Уравнение эллипсоида: $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$.

Пусть точка $C$ лежит на поверхности эллипсоида на его малой оси. Точке $C$ соответствует вектор $\vec{C}$ с координатами $\vec{C}=(0; 0; c)$.

Вектор нормали к поверхности эллипсоида $\vec{N}$ проходит через точку $M$ на поверхности эллипсоида. Точке $M$ соответствует вектор $\vec{M}$ с координатами $\vec{M}=(x_0; y_0; z_0)$.

Вектор нормали к поверхности эллипсоида $\vec{N}$ записывается в виде $\vec{N} = (\frac{2 x_0}{a^2}; \frac{2 y_0}{b^2}; \frac{2 z_0}{c^2})$.

Нахожу смешанное произведение векторов $\vec{C}$, $\vec{M}$ и $\vec{N}$:
$\vec{C} \cdot [\vec{M} \times \vec{N}] = 2\cdot x_0\cdot y_0\cdot c\cdot (\frac{1}{b^2} - \frac{1}{a^2})$.

Смешанное произведение в общем случае не рано нулю, поэтому вектора $\vec{C}$, $\vec{M}$ и $\vec{N}$ не лежат в одной плоскости. Т. е. в общем случае малая ось эллипсоида и нормаль к поверхности эллипсоида не лежат в одной плоскости.

Только в частных случаях $x_0 = 0$ (нормаль лежит в плоскости $YOZ$) и $y_0 = 0$ (нормаль лежит в плоскости $XOZ$) смешанное произведение равно нулю.

Для эллипсоида вращения, у которого $a=b$ смешанное произведение векторов $\vec{C}$, $\vec{M}$ и $\vec{N}$ равно нулю. Поэтому у эллипсоида вращения нормаль к его поверхности и малая полуось всегда лежат в одной плоскости.

Спасибо.

[Lia]

DrPilman
Не продолжайте старые темы сообщениями по другим вопросам, тем более в архивных разделах. Отделено.

Поправьте формулы, нижние индексы должны быть нижними индексами. y_0 : $y_0$

[ewert]

DrPilman в сообщении #1029967 писал(а):

Необходимо доказать, что в общем случае малая ось эллипсоида и нормаль к поверхности эллипсоида не лежат в одной плоскости.

Слишком длинно. Достаточно того, что нормаль к эллипсу в сечении $XOY$ не проходит через его центр, т.е. что вектор $(F'_x,F'_y)$ не параллелен вектору $(x,y)$, что при $a\neq b$ тривиально.

[DrPilman]

Lia, спасибо! Не хотел плодить темы. Ваши замечания исправил.
ewert, спасибо! Ваше доказательство очень компактное и с глубоким физическим смыслом, что очень ценно при объяснении людям, которые забыли основы аналитической геометрии.