Оценить вероятность

[DTF]

Извините, не смог придумать нормального названия темы.

Суть такова:
Есть прибор, который внутри себя производит испытания и по их результату с некоторой неизвестной вероятностью p выдает либо 0 (неудача), либо 1 (успех).
Нужно, наблюдая за ним, оценить эту вероятность.
Особенность прибора в том, что после наступления успеха в течение некоторого времени он не выдает никаких сигналов (хотя испытания внутри себя по-прежнему производит).


Как проще всего, наблюдая за ним, оценить p, и какова будет погрешность этой оценки?

Т.к. из-за особенности непосредственно применить формулу биномиального распределения нельзя, я хочу оценить p из формулы матожидания количества испытаний до наступления успеха (у меня получилось $M\xi = \frac{1}{p}$, это правильно? если нет, я приведу вывод, поищем ошибку:) ).

Но я не знаю, как оценить погрешность этого способа. И есть ли другие способы оценки с меньшей погрешностью?

[svv]

Значит,
1???????01???????001???????1???????01 может соответствовать и
1000000001000000000100000001000000001, и
1010011001011010100111010111000110101?

[arseniiv]

Эмм, если прибор не выдаёт сигналов, но при этом выдаваемые им сигналы распределены независимо (т. е. испытания там независимы, например), то и выкинем эти скучные моменты молчания, кому они тогда нужны?

[grizzly]

arseniiv в сообщении #1029488 писал(а):

выкинем эти скучные моменты молчания, кому они тогда нужны?

Если он скучает после того как выдаёт успешную единицу, тогда действительно так просто. А если его молчание начинается с 1 включительно? тогда на выходе мы увидим только нули и молчание. И пусть молчание длится каждый раз непредсказуемо долго. Тогда мы получаем в чистом виде задачу, о которой спрашивает ТС -- как можно только по количествам подряд идущих нулей вычислить вероятности?

[DTF]

Цитата:

Значит,
1???????01???????001???????1???????01 может соответствовать и
1000000001000000000100000001000000001, и
1010011001011010100111010111000110101?

Да, и даже
1011111111111111111111111111111111110001000000000100000001000000001.
Мы не знаем, сколько испытаний произошло во время молчания.

Цитата:

Эмм, если прибор не выдаёт сигналов, но при этом выдаваемые им сигналы распределены независимо (т. е. испытания там независимы, например), то и выкинем эти скучные моменты молчания, кому они тогда нужны?

Да, они независимы.

Первую успешную единицу (после которой начнется молчание) мы увидим.
Молчание длится относительно недолго (можно подождать), но если во время молчания внутри снова будет получен успех, то молчание продлится. Т.е. заранее время молчания предсказать нельзя.
Получается, это тоже неважно?

[grizzly]

DTF в сообщении #1029504 писал(а):

Получается, это тоже неважно?

Получается так. Ведь в промежутках молчания все события независимы и распределены в соответствии с неизвестными (но фиксированными) вероятностями. Следовательно, то что мы видим -- распределено так же.

-- 22.06.2015, 01:35 --

DTF в сообщении #1029373 писал(а):

с некоторой неизвестной вероятностью p выдает либо 0 (неудача), либо 1 (успех).

Только здесь нужно что-то подправить. Или должно быть $1-p$ для успеха, или $p=1/2$ или какое-то другое уточнение.

[DTF]

Цитата:

Получается так. Ведь в промежутках молчания все события независимы и распределены в соответствии с неизвестными (но фиксированными) вероятностями. Следовательно, то что мы видим -- распределено так же.

Гм, интересно получается...

Цитата:

Только здесь нужно что-то подправить. Или должно быть $1-p$ для успеха, или $p=1/2$ или какое-то другое уточнение.

Да, имелось в виду $p$ для успеха и $1-p$ для неудачи. Но сообщение я уже исправить не могу :(

[grizzly]

DTF в сообщении #1029506 писал(а):

Но сообщение я уже исправить не могу :(

Да ерунда, я уверен, что все так и поняли. Заодно признаюсь, что нет разницы, выдаёт оно саму единицу или нет -- это я протупил. Понятно, что ведущая 1 восстанавливается автоматически после каждой серии нулей.
Так что ответ arseniiv был исчерпывающим.

UPD. Результаты помутнения сознания удалены

[arseniiv]

Наоборот, вы меня усомнили (а у нас сейчас жарко, небыстро соображаю), и слова DTF про время молчания — ещё более. Получается, если мы измеряем ещё и времена между выходами, то мы можем предсказать больше? Правда, при неизвестном распределении длины молчания после одной единицы придётся потрудиться.

[venco]

Длительность молчания фиксирована?
Измерения независимы?

А то ведь может быть, например, так:
после нуля всегда 1, а после 1 с вероятностью $(\frac1p-1)$ - 0. Тогда прибор замолчит навсегда после первой 1.

[grizzly]

venco
Измерения независимы, поэтому такой вырожденный пример невозможен. А вот длительность молчания, судя по аргументации arseniiv, не играет роли (и я с этим согласен). Ведь всё равно во всех случаях, которые мы наблюдаем, мы видим результат всё тех же независимых испытаний с теми же вероятностями.

В этом есть что-то контринтуитивное. Пусть у нас всегда молчание равно 10 тактам, тогда мы можем перед каждым началом очередной группы видимых результатов уверенно восстановить 10 нулей и 1 единицу. Это немного сбивает с толку при сопоставлении с фактом, что в зонах молчания тоже действуют те же независимые события с теми же вероятностями. Эта контринтуитивность сродни эффекту Монти-Холла, я думаю.

[venco]

grizzly в сообщении #1029855 писал(а):

Пусть у нас всегда молчание равно 10 тактам, тогда мы можем перед каждым началом очередной группы видимых результатов уверенно восстановить 10 нулей и 1 единицу.

Я к этому и клоню. Кроме того, можно сказать, что до этого ни разу не встретилось 10 нулей, что тоже даёт информацию.

[grizzly]

venco в сообщении #1029862 писал(а):

Кроме того, можно сказать, что до этого ни разу не встретилось 10 нулей, что тоже даёт информацию.

Но всё это лишь результаты постфактумного знания. Они для расчёта $p$ и $q$ дают не больше информации, чем априорное понимание, что где-то рано или поздно встретится 10 нулей после единицы, возможно много раз, и т.п.

[venco]

grizzly в сообщении #1029865 писал(а):

venco в сообщении #1029862 писал(а):

Кроме того, можно сказать, что до этого ни разу не встретилось 10 нулей, что тоже даёт информацию.

Но всё это лишь результаты постфактумного знания. Они для расчёта $p$ и $q$ дают не больше информации, чем априорное понимание, что где-то рано или поздно встретится 10 нулей после единицы, возможно много раз, и т.п.

Сравните две полученные последовательности:
1(10*?)(99*0)
1(99*?)(10*0)

Из первой однозначно восстанавливаем
1(109*0)
из второй:
1(88*?)1(20*0)
плюс в неизвестной части, как минимум, 8 единиц, а мат-ожидание их количества ещё заметно больше.

[grizzly]

venco в сообщении #1029870 писал(а):

Сравните две полученные последовательности:
...

Сравнил. Но пока не понимаю основного направления мысли. В сопоставлении их между собой я ничего идейного не вижу, рассматриваю по отдельности.

Про первую мы так или иначе можем сказать, что последовательность слишком коротка, чтобы по ней с какой-то достоверностью определить $p$. От того, что мы целиком расшифровали последовательность, этот вывод вряд ли изменится. Но можем считать из имеющейся информации, что $p=0.01$. А то, что мы способны полностью расшифровать последовательность, добавляет нам ничуть не больше точности, чем если бы мы продолжили серию испытаний ещё на 10. В этом примере нет ничего противоречивого или контринтуититвного.

С вторым примером чуть хуже. Здесь мы из имеющихся на виду 11 результатов должны сделать предварительный вывод, что $p=1/11$. Да этот вывод входит в некоторое противоречие с очевидно большей частотой единиц в скрытой зоне. Но это противоречие точно так же объясняется только перекосами в относительно короткой выборке -- если мы доведём количество испытаний до такого, чтобы видеть 100 элементов, тогда вероятности скрытой и видимой частей существенно усреднятся.

Увы, я не нашёл чему здесь удивиться. Это всё находится в рамках моих ожиданий (как интуитивных, так и расчётных).