УМФ

[Red_Herring]

ОДУ, эквивалентное уравнению Лапласа при $r>0$ имеет 2 л.н. решения: $1$ и $1/r$ (в размерности $3$), но второе нарушает Л. в $0$: $\Delta 1/r = -4\pi \delta$.

[Sicker]

amon в сообщении #1029396 писал(а):

Наоборот: чтобы изо всех сферически симметричных решений отобрать одно, это условие и используется.

Я имел ввиду, что тк потенциал обладает калибровочной инвариантностью относительно добавления константы, то мы можем просто положить, что на бесконечности потенциал равен какой-то константе(поле нуль)

[ewert]

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #1029407 писал(а):

Я имел ввиду, что тк потенциал обладает калибровочной инвариантностью относительно

А тут не нужно никаких инвариантностей, тут гораздо тупее. Из сферической симметрии следует тупо ДУ 2-го порядка, после чего всё ясно.

[Munin]

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #1029407 писал(а):

Я имел ввиду, что тк потенциал обладает калибровочной инвариантностью относительно добавления константы, то мы можем просто положить, что на бесконечности потенциал равен какой-то константе(поле нуль)

Это всё-таки не калибровочная инвариантность, а гораздо проще, гранусловия. От калибровочной гранусловиями не избавиться.

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1029407 писал(а):

Я имел ввиду, что тк потенциал обладает калибровочной инвариантностью относительно добавления константы, то мы можем просто положить, что на бесконечности потенциал равен какой-то константе(поле нуль)

Как уже Вам объяснили, это не калибровочная инвариантность. Но есть и второе заблуждение: везет, что 3хмерный потенциал будет кулоновским и убывает на бесконечности. В 2мерном случае, однако, потенциал логарифмический, поэтому при произвольной, хотя и быстро убывающей на бесконечности п.ч. решение условием на бесконечности не выбирается (на самом деле выбрать можно но весьма странным образом: существует $C$ т.ч. $u- C\log |x| $ стремится на бесконечности к $0$ )

[Munin]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1029431 писал(а):

Как уже Вам объяснили, это не калибровочная инвариантность.

Ну, в каком-то смысле, это остаток от полной калибровочной инвариантности, так что физически это довольно близкие понятия...

[Sicker]

А откуда мы вообще знаем, что решение сферически симметрично? Это как раз определяется граничными условиями, разве нет?(Мы выбрали, что поле на бесконечности ноль, те потенциал константа)

[ewert]

Sicker в сообщении #1029712 писал(а):

А откуда мы вообще знаем, что решение сферически симметрично?

Мы этого не знаем -- мы этого хотим.

[Sicker]

ewert
Ну вот граничными условиями и добиваемся, не?

[ewert]

Sicker в сообщении #1029730 писал(а):

Ну вот граничными условиями и добиваемся, не?

Не. Какое вообще отношение ноль на бесконечности имеет к симметричности?

[Munin]

Sicker в сообщении #1029712 писал(а):

А откуда мы вообще знаем, что решение сферически симметрично? Это как раз определяется граничными условиями, разве нет?(Мы выбрали, что поле на бесконечности ноль, те потенциал константа)

Вообще говоря, нет. Условие на бесконечности - граничное. А условие симметричности - "пронизывает" всю область, в которой рассматривается уравнение. Ещё частым примером такого "пронизывающего" условия бывает условие стационарности, или колебаний с постоянной заданной частотой - если в уравнения входит время.

Так что, наоборот, граничное условие подчиняется условию сферической симметричности. Невозможно задать сферическую симметричность, и при этом сферически несимметричные гранусловия.

Вообще говоря, можно вообразить себе дифуры, которые при сферически-симметричных гранусловиях имеют не сферически-симметричные решения. Но тогда одна задача будет иметь несколько решений! Не всем это нравится. Если вы работаете в ситуации с существованием и единственностью решения, то сферическая симметричность гранусловий влечёт сферическую симметричность решения.

Пример неединственного решения: волновая функция электрона в атоме водорода (уравнение Шрёдингера, без спина). Задача сферически симметричная, но электрон бывает в разных состояниях, в том числе сферически несимметричных. Это $p,d,f,...$-орбитали. Они ориентированы в пространстве по-разному, в них электрон крутится вокруг ядра "по кругу", в разные стороны и с разной скоростью. В результате получается целая система решений, которая взятая как единое целое - сферически симметрична.

-- 22.06.2015 19:00:51 --

ewert в сообщении #1029731 писал(а):

Какое вообще отношение ноль на бесконечности имеет к симметричности?

Ну, он как бы на бесконечности по любому направлению.

(Оффтоп)

(Можно ещё дополнительно рассмотреть ноль на бесконечности отдельно по $r,$ по $\varphi$ и по $\theta$...)

[Sicker]

Munin в сообщении #1029735 писал(а):

евозможно задать сферическую симметричность, и при этом сферически несимметричные гранусловия.

Это понятно

Munin в сообщении #1029735 писал(а):

Вообще говоря, можно вообразить себе дифуры, которые при сферически-симметричных гранусловиях имеют не сферически-симметричные решения. Но тогда одна задача будет иметь несколько решений! Не всем это нравится. Если вы работаете в ситуации с существованием и единственностью решения, то сферическая симметричность гранусловий влечёт сферическую симметричность решения.

Да, я как раз исходил из единственности решения.

[amon]

Sicker в сообщении #1029763 писал(а):

Да, я как раз исходил из единственности решения.

amon в сообщении #1029361 писал(а):

Разделите переменные в уравнении и положите угловые части константами.

А теперь, если угловые части константами не класть, а аккуратно решить все для них, после чего для радиальной части выбрать решение, убывающее на бесконечности, что, получится сферически симметричное решение?

[ewert]

amon в сообщении #1029847 писал(а):

после чего для радиальной части выбрать решение, убывающее на бесконечности, что, получится сферически симметричное решение?

Получится, если мы не на спектре. А если на спектре, то бог весть. Как и было замечено (хоть и не понимаю, зачем).

-- Вт июн 23, 2015 00:48:09 --

Munin в сообщении #1029735 писал(а):

Невозможно задать сферическую симметричность, и при этом сферически несимметричные гранусловия.

Кстати, запросто возможно. Вот выйдет ли от этого какой прок для сельского хозяйства -- это вопрос уже другой.

[Munin]

ewert в сообщении #1029848 писал(а):

Кстати, запросто возможно.

И будет существовать решение?

Приведите пример.