Критерий полноты группы

[nattie]

Задача: Покажите, что полная группа не имеет собственных подгрупп конечного индекса, а для абелевых групп верно и обратное.

Если в одну сторону довольно очевидно, то в обратную для абелевых не выходит.
Например, была идея домножить группу на n и доказать, что тем самым получим подгруппу конечного индекса, а т.е. она будет совпадать со всей. Но в действительности это не так, можно привести контрпример....

Буду благодарна за любые идеи, замечания :)

[Nemiroff]

nattie в сообщении #1028715 писал(а):

Например, была идея домножить группу на n и доказать, что тем самым получим подгруппу конечного индекса, а т.е. она будет совпадать со всей.

Возьмите такие $n$, чтоб домноженная группа была не равна всей группе. Возьмите меньшее из них всех. Докажите, что оно простое...