Число способов разбить число на три неравные части

[2old]

Доказать, что число $n$ можно $\left [ \frac{n^2-6n+12}{12} \right ]$ способами разбить на три попарно неравные части, каждое слагаемое $>0$

Всего способов разбить на три отличных от нуля слагаемых будет ${n-3+3-1 \choose 3-1}={n-1 \choose 2}$ способов.
Какие-то два из слагаемых могут совпадать, еще могут совпадать три. Поэтому рассмотрим случаи:
$n=6k$ -- делится и на 2 и на 3
$n=6k+1$ -- не делится ни на 2, ни на 3
$n=6k+2$ -- делится на 2, не делится на 3
$n=6k+3$ -- делится на 3, не делится на 2

И для каждого по формуле включений-исключений вычислим число способов разбить на три попарно неравные части.

Если $n$ четное, то без учета порядка $\frac{n-2}{2}$ способов разбить на три слагаемых, больше нуля, так чтобы два из них совпадали. Если нечетное, то $\frac{n-1}{2}$. Если $n$ не делится на $3$, то разбить его на три одинаковых слагаемых можно $0$ способами. А если делится, то $1$.

Тогда, например, для случая $n=6k$
$N(\text{три попарно неравные части})={n-1 \choose 2}-{3 \choose 2}\frac{n-2}{2}+1$

Но тут у меня последнее слагаемое не сходится с ответом, там $2$.

[ex-math]

Это все равно, что подсчитать число решений уравнения $x_1+2x_2+3x_3=n $ в натуральных числах. А это все равно, что найти коэффициент при $x^n $ в $\frac{x^6}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)} $. Раскладываете на простые дроби и все.

[2old]

ex-math
Спасибо, это с помощью аппарата производящих функций. Я пока до них "не дошел", прорешиваю задачи на "раскладки по ящикам". Поэтому мне важно понять, где я ошибся и почему другой ответ.

[grizzly]

2old
Посмотрите внимательнее на второе слагаемое. В нём без учёта порядка имеется $\frac{n-2}{2}$ способов. При этом один из этих способов содержит три одинаковых слагаемых. Когда Вы ко всем этим способам применяете "учёт порядка", то к этому одному Вы его тоже применяете -- утраиваете. И для компенсации должны потом вернуть 2 на место.

[2old]

grizzly
спасибо