Условный экстремум

[Профессор Снэйп]

kerz-3-06 писал(а):

почему неравенство-то верно понять не сложно. не ясно как из этого следует отсутствие экстремумов?!

Предположим, что имеется экстремум при $z=z_0$ и $\varphi = \varphi_0$.

Если $\sin 2 \varphi_0 > 0$, то при всех $\delta > 0$ справедливо

$$ F(z_0-\delta, \varphi_0) < F(z_0, \varphi_0) < F(z_0+\delta, \varphi_0)$ $$

и этот "экстремум" не может быть ни минимумом, ни максимумом. То же самое верно и при $\sin 2\varphi_0 < 0$, так как в этом случае

$$ F(z_0-\delta, \varphi_0) > F(z_0, \varphi_0) > F(z_0+\delta, \varphi_0)$ $$

при всех действительных $\delta > 0$. Наконец, если $\sin 2\varphi_0 = 0$, то либо $\varphi_0 = \pi k$ при $k \in \mathbb{Z}$, либо $\varphi_0 = \pi/2 + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$. В первом случае

$$ F(z_0, \varphi_0-\delta) < F(z_0, \varphi_0) < F(z_0, \varphi_0+\delta)$ $$

при всех $\delta \in (0, \pi / 4)$, а во втором

$$ F(z_0, \varphi_0-\delta) > F(z_0, \varphi_0) > F(z_0, \varphi_0+\delta)$ $$

при тех же самых $\delta$, так что наш "экстремум" опять не может являться ни максимумом, ни минимумом.

[kerz-3-06]

спасибо