2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Прообраз открытого множества - измерим.
Сообщение19.06.2015, 11:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Задача
Доказать, что прообраз открытого множества измеримой функции $f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{C}$ измерим.
Измеримая функция - это предел последовательности простых.
Простая функция это функция вида $f = c_1 1_{E_1} + c_2 1_{E_2} + ... + c_n 1_{E_n}$, где $c_i \in \mathbb{C}$, все $E_i$ - измеримые множества в $\mathbb{R}^d$ а $1_A$ - хар. функция множества $A$.

В вещественном случае для доказательства этого факта в значительной степени используется порядок в $\mathbb{R}$, а как быть в комплексном?

 Профиль  
                  
 
 Re: Прообраз открытого множества - измерим.
Сообщение19.06.2015, 11:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
kp9r4d в сообщении #1028818 писал(а):
Измеримая функция - это предел последовательности простых.

На самом деле измеримая функция -- это такая, у которой прообраз любого измеримого множества измерим. Ч.т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прообраз открытого множества - измерим.
Сообщение19.06.2015, 11:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
ewert
Не мне вам рассказывать, что это эквивалентные определения и в литературе можно встретить и те, и другие. Можно принять ваше определение и переформулировать задачу так: доказать функция измерима тогда и только тогда, когда является пределом последовательности простых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прообраз открытого множества - измерим.
Сообщение19.06.2015, 12:27 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
kp9r4d в сообщении #1028823 писал(а):
переформулировать задачу так: доказать функция измерима тогда и только тогда, когда является пределом последовательности простых.

Тогда это уже не задача, а стандартная теорема.

В случае комплеснозначной (вообще векторнозначной) функции её измеримость равносильна измеримости по каждой компоненте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прообраз открытого множества - измерим.
Сообщение19.06.2015, 15:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Это очевидно, а дальше что? Прообраз любого открытого множества, в общем случае, не выражается через прообразы функций-компонент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прообраз открытого множества - измерим.
Сообщение19.06.2015, 19:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
kp9r4d в сообщении #1028900 писал(а):
Прообраз любого открытого множества, в общем случае, не выражается через прообразы функций-компонент.

Любого и не нужно. Достаточно прообразов окрестностей. Роль которых запросто могут играть и прямоугольники.

Это прекрасный пример того, как неудачно выбранные определения (в данном случае измеримости через предел) способно пудрить мозги.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прообраз открытого множества - измерим.
Сообщение19.06.2015, 21:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
ewert в сообщении #1028983 писал(а):
Любого и не нужно. Достаточно прообразов окрестностей. Роль которых запросто могут играть и прямоугольники.

Точно ведь! Спасибо, очень простая идея.

ewert в сообщении #1028983 писал(а):
Это прекрасный пример того, как неудачно выбранные определения (в данном случае измеримости через предел) способно пудрить мозги.

Не вижу, при чём тут определения. Если бы дали определение "прообраз любого борелевского измерим по Лебегу", то я бы точно так же думал над эквивалентным упражнением "доказать, что измеримость комплекснозначной функции равносильна измеримости функций-компонент".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group