Задача на сложение скоростей

[Juicefruit89]

Задача, на мой взгляд, тривиальная, просто мой ответ не сходится с тем, что в конце учебника, решил попросить помощи. Условие задачи (из задачника Заикин, Овчинкин, Прут):

Атлет толкает ядро с разбега. Считая, что скорость ядра относительно атлета в момент броска равна по величине скорости разбега, найти угол $\alpha$, под которым следует выпустить ядро по отношению к земле, чтобы дальность полёта была максимальной. Высоту самого атлета не учитывать.

Решаю я её опять же, в лоб:
пусть $\vec{v_a}$ - скорость атлета (направлена вдоль оси $x$)
$\vec{v_{ba}}$ - скорость ядра относительно атлета (направлена под углом $\alpha$ к горизонту)
$v_a$ = $v_{ba}$ = $v_0$ (по условию)
Понятно, что результирующая скорость - это векторная сумма двух вышеуказанных скоростей. Время полёта зависит только от вертикальной составляющей скорости, а эта вертикальная составляющая содержится, в свою очередь, только в скорости ядра относительно атлета, поэтому зависимость координат от времени будет такой:

$x(t) = v_{0}(1 + \cos{\alpha})t$
$y(t) = v_{0}\sin{\alpha}t - \dfrac{gt^{2}}{2}$

Время полёта находится из уравнения для вертикальной координаты:

$t_{fly} = \dfrac{2v_{0}\sin{\alpha}}{g}$

Подставляю полученное выражение в формулу для расчёта горизонтальной координаты:

$x(\alpha) = v_{0}(1 + \cos{\alpha})t = v_{0}(1 + \cos{\alpha})\dfrac{2v_{0}\sin{\alpha}}{g} = \dfrac{2{v_{0}}^{2}}{g}\left(\sin{\alpha} + \sin{\alpha}\cos{\alpha}\right)$

Беру производную по $\alpha$:

$\dfrac{dx}{d\alpha} = \dfrac{2{v_{0}}^{2}}{g}\left(\cos{\alpha} + {\cos{\alpha}}^{2} - {\sin{\alpha}}^{2}\right) = \dfrac{2{v_{0}}^{2}}{g}\left(\cos{\alpha} + \cos{2\alpha}\right)$

Чтобы найти максимальное значение, т.е. экстремум, нужно эту производную приравнять к нулю, отсюда $\cos{\alpha} = -\cos{2\alpha}$

Тогда угол получается равным $\dfrac{\pi}{3}$, но в ответе указано $\dfrac{\pi}{6}$. Не понимаю, где ошибка?

[Munin]

Я подозреваю, что фраза "угол $\alpha$, под которым следует выпустить ядро по отношению к земле" означает, что нужно найти угол не $\vec{v}_{ba}$ к горизонту, а $\vec{v}_{a}+\vec{v}_{ba}$ к горизонту. (То есть, рассматривается начальная скорость ядра в с. о. земли.)

Вообще, вина авторов задачника, криво формулирующих условия.

[OlegCh]

Не очень понял, при чем тут вообще атлет? Ядро начинает движение (с нулевой высоты) с некоторой начальной скоростью под углом к горизонту; найти угол, при котором дальность полета будет максимальной. Ну и при чем тут атлет? Угол не зависит от величины скорости.

[DimaM]

OlegCh в сообщении #1031132 писал(а):

Не очень понял, при чем тут вообще атлет? Ядро начинает движение (с нулевой высоты) с некоторой начальной скоростью под углом к горизонту; найти угол, при котором дальность полета будет максимальной. Ну и при чем тут атлет? Угол не зависит от величины скорости.

Атлет тут при том, что начальная скорость ядра зависит от угла.

[OlegCh]

DimaM в сообщении #1031134 писал(а):

Атлет тут при том, что начальная скорость ядра зависит от угла.

Аааа, там же скорость ядра относительно атлета... Проглядел, сорри.