(Оффтоп)
Тэкс, теперь у меня нормальная клавиатура и по такому поводу полагается немножечко пописАть.
Итак, пусть имеются две массы

и

, положение которых в некоторой ИСО задано радиус-векторами

и

соответственно. Введём ещё вектор относительного положения

, соединяющий рассматриваемые массы в направлении от

к

. Закон Всемирного Тяготения гласит

Откуда следует

Заметим, что точно такое же уравнение получилось бы в задаче о движении пробного тела в поле притяжения массы

. Допустим, задача

решена (мы решим её ниже) и

найдено. Как вернуться обратно к векторам

и

? Для этого нужно как-то фиксировать систему отсчёта. С этой целью составим выражение

и найдём его вторую производную в силу системы

. Результатом будет нуль. Это значит, что точка с радиус-вектором

движется в нашей ИСО равномерно и прямолинейно. Совершим подходящее галилеево преобразование и догоним эту точку, заодно переносами поместив её в центр

. Теперь обратная редукция может быть совершена, ибо из

мгновенно следует

Вернёмся к решению задачи

, которую (для удобства) перепишем в виде

Введём в рассмотрение две важные величины. Первая почти очевидна

а со второй придётся повозиться. Закончим сперва с первой. Взяв от неё производную, и подставляя

сразу же получим нуль. Это значит, что вектор

есть интеграл движения. Направлен он (просто по определению векторного произведения) строго поперёк как скорости так и радиус-вектора нашего пробного тела, а стало быть и всё движение
заусегда приключается тоже в одной этой самой плоскости. Перпендикулярной, ещё раз отметим,

. С первым интегралом покончено, соорудим второй. Для этого составим и распишем следующую производную

Что означает сохранение ещё одной векторной (хотя предыдущая была, строго говоря, не векторной, а псевдо-векторной) величины

Это очень полезная штука, поэтому перепишем её ещё раз, раскрыв фигурирующее тут двойное векторное произведение

где мы наконец ввели давно просившееся в компанию обозначение для скорости

Подставляя это взад и приводя что получится, получаем

Этой формулой особенно удобно пользоваться в перицентрах, в коих, как известно,

. Ну а вычисленное один раз значение

остаётся навсегда. Интеграл же.
Однако, вычислить, мы его вычислим, но какая с такого интеграла польза? А вот какая. Составим и распишем следующее скалярное произведение

Заметим теперь, что

Откуда, вводя угол

между векторами

и

, получаем
Ну вот как-то так... Если чего добавить или непонятно или очепятка где, то предлагайте-спрашивайте-указуйте.