Три рациональных числа- 2

[scwec]

$a,b,c$ - рациональные числа и $abc\ne{0}$.
Найдите рациональное $x$ такое, что числа $a^2+x,b^2+x,c^2+x$ - квадраты рациональных чисел.

[Shadow]

Одно из решений:

$$x=\left(\dfrac{ab}{2c}\right)^2+\left(\dfrac{bc}{2a}\right)^2+\left(\dfrac{ca}{2b}\right)^2-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}$$

[scwec]

Все верно. Это решение можно записать и так: $x=\dfrac{(bc-ac-ab)(bc-ac+ab)(bc+ac-ab)(bc+ac+ab)}{4a^2{b^2}c^2}$.
Отсюда, обращаясь к Лутц-Нагель, проще доказать бесконечность числа решений (Это в том случае, когда числитель на знаменатель не делится).
Следующее решение выглядит не так красиво:

x=((b^16-8c^2b^14+28c^4b^12-56c^6b^10+70*c^8b^8-56c^10b^6+28c^12b^4-8c^14b^2+c^16)a^16+(-8c^2b^16+8c^4b^14+24c^6b^12-24c^8b^10-8*c^10b^8+24c^12b^6+8c^14b^4-8c^16*b^2)a^14+(28c^4b^16+24c^6b^14-92c^8b^12+80c^10b^10-92c^12b^8+24c^14b^6+28c^16b^4)a^12+(-56c^6b^16-24c^8b^14+80c^10b^12+80c^12b^10-24c^14b^8-56c^16b^6)a^10+(70c^8b^16-24c^10b^14-92c^12b^12-24c^14b^10+70c^16b^8)a^8+(-56c^10b^16+24c^12b^14+24c^14b^12-56c^16b^10)a^6+(28c^12b^16+8c^14b^14+28c^16b^12)a^4+(-8c^14b^16-8c^16b^14)a^2+c^16b^16))/(16a^2b^2c^2(-c^2b^2+a^2b^2+c^2a^2)^2(-c^2b^2+a^2b^2-c^2a^2)^2(a^2b^2+c^2b^2-c^2a^2)^2)